各面が鋭角三角形からなる四面体ABCDにおいて、辺AB
と辺CDは垂直ではないとする。このとき辺ABを含む平面に点C、点Dから下ろした垂線の足をそれぞれC', D'とするとき、4点A, B, C', D'がすべて相異なり、しかも同一円周上にとれることを示せ。
解答例
- ABとC'D'の交点をM
- Mから平面に立てた垂線とCDの交点をN
- CDと平面のなす角を
とします。
このとき、
\begin{eqnarray}
\mathrm{C'M} &=& \mathrm{CN}\cos \theta \\
\mathrm{D'M} &=& \mathrm{DN} \cos \theta \\
\mathrm{C'M} \cdot \mathrm{D'M} &=& \mathrm{CN} \cdot \mathrm{DN} \cos^2 \theta
\end{eqnarray}となります。
ABを軸に平面を回転させると、が変化します。適当なを定めると、
\begin{equation}
\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM} = \mathrm{C'M} \cdot \mathrm{D'M} = \mathrm{CN} \cdot \mathrm{DN} \cos^2 \theta
\end{equation}とすることができます。
したがって、方べきの定理の逆により、4点A, B, C', D'は同一円周上に
存在します。
方べきの定理の逆 - 数式で独楽する
よって題意は証明されました。(?)
解説
この解法にも自信はありません。
- 直線CDが平面となす角が
- C'D'はABとどこかで交わる
ということを手掛かりにしています。