数式で独楽する

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2002年後期 京大 理系 第3問 (自信なし)その2

各面が鋭角三角形からなる四面体ABCDにおいて、辺AB
と辺CDは垂直ではないとする。このとき辺ABを含む平面 \alphaに点C、点Dから下ろした垂線の足をそれぞれC', D'とするとき、4点A, B, C', D'がすべて相異なり、しかも同一円周上にとれることを示せ。

解答例


  • ABとC'D'の交点をM
  • Mから平面 \alphaに立てた垂線とCDの交点をN
  • CDと平面 \alphaのなす角を \theta

とします。

このとき、
\begin{eqnarray}
\mathrm{C'M} &=& \mathrm{CN}\cos \theta \\
\mathrm{D'M} &=& \mathrm{DN} \cos \theta \\
\mathrm{C'M} \cdot \mathrm{D'M} &=& \mathrm{CN} \cdot \mathrm{DN} \cos^2 \theta
\end{eqnarray}となります。

ABを軸に平面 \alphaを回転させると、 \thetaが変化します。適当な \thetaを定めると、
\begin{equation}
\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM} = \mathrm{C'M} \cdot \mathrm{D'M} = \mathrm{CN} \cdot \mathrm{DN} \cos^2 \theta
\end{equation}とすることができます。

したがって、方べきの定理の逆により、4点A, B, C', D'は同一円周上に
存在します。
方べきの定理の逆 - 数式で独楽する

よって題意は証明されました。(?)

解説

この解法にも自信はありません。

  • 直線CDが平面 \alphaとなす角が \theta
  • C'D'はABとどこかで交わる

ということを手掛かりにしています。