閉区間
で定義された関数
が、
を満たしている。
補足は
と
解答例
\begin{equation}
f(x) +\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin (x -y) \, f(y) \, dy = x +1 \tag{1}
\end{equation}をで2回微分すると、
\begin{equation}
f''(x) -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin (x -y) \, f(y) \, dy = 0 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
式(1), (2)より、
\begin{equation}
f(x) -f''(x) = x +1 \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。
さらに式(3)をで2回微分すると、
\begin{equation}
f''''(x) +f''(x) = 0
\end{equation}を得ます。
これを解くと、
\begin{eqnarray}
f''(x) &=& -A \cos x -B \sin x \\
f(x) &=& A \cos x +B \sin x +Cx +D \tag{4}
\end{eqnarray}となります。は任意定数です。
式(3), (4)より、
\begin{equation}
Cx +D = x +1
\end{equation}が恒等式となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
C &=& 1 \\
D &=& 1
\end{eqnarray}を得ます。
この時点で、
\begin{equation}
f(x) = A \cos x +B \sin x +x +1 \tag{5}
\end{equation}となっています。
式(1)より、
\begin{eqnarray}
f(0) -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin y \, f(y) \, dy &=& 1 \tag{6} \\
f \left( \frac{\pi}{2} \right) +\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos y \, f(y) \, dy &=& \frac{\pi}{2} +1 \tag{7}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
積分については、式(5)により、
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin y \, f(y) \, dy &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin y \, (A\cos y +B\sin y +y +1) \, dy \\
&=& 2\int_0^{\pi/2} (B\sin^2 y +y \, \sin y) \, dy \\
&=& \int_0^{\pi/2} \left \{ B(1 -\cos 2y) +2y \sin y \right \} \, dy \\
&=& \biggl[ By -\frac{B}{2} \, \sin 2y \biggr]_0^{\pi/2} -2\biggl[ y \cos y \biggr]_0^{\pi/2} +2\int_0^{\pi/2} \cos y \, dy \\
&=& \frac{B\pi}{2} -0 +2\biggl[ \sin y \biggr]_0^{\pi/2} \\
&=& \frac{B\pi}{2} +2 \\
\\
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos y \, f(y) \, dy &=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos y \, (A\cos y +B\sin y +y +1) \, dy \\
&=& 2\int_0^{\pi/2} (A\cos^2 y +\cos y) \, dy \\
&=& \int_0^{\pi/2} \left \{ A(1 +\cos 2y) +2\cos y \right \} \, dy \\
&=& \left[ Ay +\frac{A}{2} \, \sin 2y +2 \sin y \right]_0^{\pi/2} \\
&=& \frac{A\pi}{2} +2
\end{eqnarray}なので、式(6), (7)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A +1 +\frac{B\pi}{2} +2 &=& 1 \\
B +\frac{\pi}{2} +1 +\frac{A\pi}{2} +2 &=& \frac{\pi}{2} +1
\end{eqnarray}つまり
\begin{eqnarray}
A +\frac{\pi}{2} \, B &=& -2 \tag{8} \\
\frac{\pi}{2} \, A +B &=& -2 \tag{9}
\end{eqnarray}となります。
定積分の部分積分 - 数式で独楽する
偶関数、奇関数とその定積分 - 数式で独楽する
式(8), (9)よりを消去すると、
\begin{eqnarray}
\left( 1 -\frac{\pi^2}{4} \right) \, A &=& -2 \left( 1 -\frac{\pi}{2} \right) \\
A &=& \cfrac{-2}{\ 1 +\cfrac{\pi}{2} \ } \\
&=& -\frac{4}{2 +\pi} \tag{10}
\end{eqnarray}となります。
これを式(9)に代入し、
\begin{eqnarray}
B &=& -2 +\frac{2\pi}{2 +\pi} \\
&=& -\frac{4}{2 +\pi} \tag{11}
\end{eqnarray}を得ます。
式(10), (11)を式(5)に代入すると、求める関数が得られます。
\begin{equation}
f(x) = -\frac{4}{2 +\pi} \, (\cos x +\sin x) +x +1
\end{equation}
