ベクトルの線積分

「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。

スカラーの線積分

スカラーの線積分 - 数式で独楽する

ベクトルの線積分

曲線上におけるベクトルの線積分は、
\begin{equation}
\int_C \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}) \cdot d\boldsymbol{s}
\end{equation}と表記します。
ここでは曲線上の微小区間のベクトルです。
また、式中の「」はベクトルの内積を表します。

積分の評価は、1次元の定積分と同様です。
定積分 - 数式で独楽する

• 曲線を分割します。
• 分割した各部の代表点を
• 分割した各部のベクトルを

とし、との内積を取って足し合わせます。
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_i) \cdot \Delta \boldsymbol{s}_i
\end{equation}
そして分割を限りなく細かくし、各を限りなく0に近付けると、線積分を得ることができます。つまり
\begin{equation}
\int_C \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}) \cdot d\boldsymbol{s} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_i) \cdot \Delta \boldsymbol{s}_i
\end{equation}です。

2次元直交座標の場合、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_x \boldsymbol{i} +A_y \boldsymbol{j} \\
d\boldsymbol{s} &=& dx \, \boldsymbol{i} +dy \, \boldsymbol{j}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\int_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{s} = \int_C (A_x \, dx +A_y \, dy)
\end{equation}です。

3次元直交座標の場合、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_x \boldsymbol{i} +A_y \boldsymbol{j} +A_z \boldsymbol{k} \\
d\boldsymbol{s} &=& dx \, \boldsymbol{i} +dy \, \boldsymbol{j} +dz \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\int_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{s} = \int_C (A_x \, dx +A_y \, dy +A_z \, dz)
\end{equation}です。

\begin{eqnarray}
P &=& A_x \\
Q &=& A_y \\
R &=& A_z
\end{eqnarray}としてみると、以下の形も線積分であることが分かります。
2次元の場合、
\begin{eqnarray}
&& \int_C \left \{ P(x,y) \, dx +Q(x,y) \, dy \right \} \\
&& = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n \left \{ P(\xi_i, \eta_i) \, \Delta x_i +Q(\xi_i, \eta_i) \,\Delta y_i \right \}
\end{eqnarray}
3次元の場合、
\begin{eqnarray}
&& \int_C \left \{ P(x,y,z) \, dx +Q(x,y,z) \, dy +R(x,y,z) \, dz \right \} \\
&& = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n \left \{ P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta x_i +Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \,\Delta y_i +R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta z_i \right \}
\end{eqnarray}です。