数式で独楽する

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2023年 京大 文系 第3問

(1)  \cos 2\theta \cos 3\theta \cos \thetaの式として表せ。

(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが1.15より大きいか否かを理由を付けて判定せよ。

小問(1)の解答例

加法定理と倍角の公式により、
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=& \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \\
&=& 2\cos^2 \theta -1 \\
\\
\cos 3\theta &=& \cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta \\
&=& (2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2\cos \theta \sin^2 \theta \\
&=& 2\cos^3 \theta -\cos \theta -2\cos \theta (1 -\cos^2 \theta) \\
&=& 4\cos^3 \theta -3\cos \theta
\end{eqnarray}を得ます。
3倍角の公式 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

半径1の円に内接する正五角形の辺は、頂角72°、等辺の長さが1の二等辺三角形の底辺です。
つまり、一辺の長さは
\begin{equation}
l = 2\sin 36^\circ
\end{equation}です。

一方、 \theta = 36^\circとすると、
\begin{equation}
\cos 3\theta = -\cos 2\theta
\end{equation}が成り立ちます。

小問(1)の結果を用います。
\begin{equation}
4\cos^3 \theta -3\cos \theta = -2\cos^2 \theta +1
\end{equation}整理します。
\begin{eqnarray}
4\cos^3 \theta +2\cos^2 \theta -3\cos \theta -1 &=& 0 \\
(\cos \theta +1)(4\cos^2 \theta -2\cos \theta -1) &=& 0
\end{eqnarray} 0 < \cos \theta < 1なので、
\begin{equation}
\cos \theta = \frac{1 +\sqrt{5}}{4}
\end{equation}を得ます。また、
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \sqrt{1 -\cos^2 \theta \ } \\
&=& \sqrt{1 -\frac{6 +2\sqrt{5}}{16}} \\
&=& \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{eqnarray}です。
三角比36ºと54º その2 - 数式で独楽する

したがって、一辺の長さは
\begin{equation}
l = 2\sin \theta = \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5} \ }}{2}
\end{equation}です。
 2.2 < \sqrt{5} < 2.3なので、
\begin{equation}
l > \frac{\sqrt{10 -2.3}}{2} = \frac{\sqrt{5.4}}{2}
\end{equation}です。
また、 2.3^2 = 5.29 < 5.4なので、
\begin{equation}
l > \frac{2.3}{2} = 1.15
\end{equation}となります。

これは、半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さは1.15より大きいことを示しています。

解説

小問(1)は素直に加法定理と倍角の公式を用いて三倍角の公式を導くものです。
小問(2)は180°を5等分すれば小問(1)の結果を使える形です。