一辺の長さが
である正
角形の面積
\begin{equation}
S = \frac{na^2}{4} \, \tan \left( 90^\circ -\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{na^2}{4} \, \cot \frac{\pi}{n}
\end{equation}
図は正七角形です。
図のように分割すると、辺の数だけ二等辺三角形ができます。
頂角はです。
底角は、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left( 180^\circ -\frac{360^\circ}{n} \right) = 90^\circ -\frac{180^\circ}{n}
\end{equation}です。
二等辺三角形の高さは
\begin{equation}
h = \frac{a}{2} \, \tan \left( 90^\circ -\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{a}{2} \, \cot \frac{\pi}{n}
\end{equation}となります。
図は正七角形の場合です。
よって、正角形の面積
\begin{eqnarray}
S &=& n \cdot \frac{ah}{2} \\
&=& \frac{na^2}{4} \, \tan \left( 90^\circ -\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{na^2}{4} \, \cot \frac{\pi}{n}
\end{eqnarray}を得ます。
