実数に対し、 \begin{equation} z = x + y \, i \end{equation}で表される数を「複素数」といいます。実数ではないという意味で「虚数」ともいいます。 : 虚数単位 : 実部。などと表します。 : 虚部。などと表します。 です。2つの複素数 \begin{eqnarray} z…

正方行列の対角成分の和を「トレース(trace、跡(せき))」といいます。 正方行列をとすると、トレースは \begin{equation} \mathrm{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii} \end{equation}で定義されます。 定数倍 行列を定数倍すると、トレースも定数倍になります。 \b…

行列が組の固有値と固有ベクトルを持つと仮定します。すなわち、 \begin{equation} A \boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i \quad (i=1,2, \cdots , n) \tag{1} \end{equation}とします。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する 各は一次独立であ…

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する固有値…

対角行列 「対角行列」とは、正方行列であり、対角成分$(i,i)$以外の成分が零であるものをいいます。 \begin{equation} C = \left( \begin{array}{cccc} c_1 &&& \Large{0} \\ & c_2 && \\ && \ddots & \\ \Large{0} &&& c_n \end{array} \right) \end{equat…

「数学的帰納法」とは、 全ての自然数に対し命題が成り立つ ことを証明する、有力な方法です。以下のステップで、全ての自然数に対して命題が の場合、が成り立つことを示す。 の場合にが成り立つと仮定し、の場合もが成り立つことを示す。 派生型はいろいろ…

「数学的帰納法」とは、 全ての自然数に対し命題が成り立つ ことを証明する、有力な方法です。以下のステップで、全ての自然数に対して命題が の場合、が成り立つことを示す。 の場合にが成り立つと仮定し、の場合もが成り立つことを示す。 派生型はいろいろ…

対角行列 「対角行列」とは、正方行列であり、対角成分$(i,i)$以外の成分が零であるものをいいます。 \begin{equation} C = \left( \begin{array}{cccc} c_1 &&& \Large{0} \\ & c_2 && \\ && \ddots & \\ \Large{0} &&& c_n \end{array} \right) \end{equat…

クロネッカーのデルタは、 \begin{equation} \delta_{ij} = \left \{ \begin{array}{cc} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{array} \right. \end{equation}を満たすテンソルです。 クロネッカーのデルタ - 数式で独楽するクロネッカーのデルタ同士の積は、ク…

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

一次変換$f$により自身に移される直線を、「不動直線」といいます。一次変換を表す行列を$A$とします。直線をベクトルで記述すると、 \begin{equation} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 +t \boldsymbol{v} \tag{1} \end{equation}です。ここで、 : 直線上…

一次変換$f$に対して、 \begin{equation} f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \overrightarrow{\mathrm{OP}} \end{equation}が成り立つとき、点Pは$f$の「不動点」といいます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する 固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽…

一次変換$f$に対して、 \begin{equation} f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \overrightarrow{\mathrm{OP}} \end{equation}が成り立つとき、点Pは$f$の「不動点」といいます。 原点は常に不動点です。 一次変換$f$を表す行列を$A$とします。 零ベクトルに対…

平行な2直線の変換 正則な一次変換$f$は、交わる2直線を交わる2直線に、交点を交点に変換します。 直線の変換を考慮すると、このことは当たり前と言えます。交わる2直線をベクトルで記述すると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \bo…

平行な2直線の変換 正則な一次変換$f$は、平行な2直線を平行な2直線に変換します。 平行な2直線をベクトルで記述すると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{y} &=& \boldsymbol{b} +t \boldsymbol{u} \…

直線の変換 正則な*1一次変換$f$は、直線を直線に変換します。 直線をベクトルで記述すると、 \begin{equation} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a} +t \boldsymbol{u} \tag{1} \end{equation}です。ここで、 : 直線上の点の位置ベクトル : 定点の位置ベクトル…

以下の問いに答えよ。(1) を1以上の整数とする。についての方程式 \begin{equation} x^{2n -1} = \cos x \end{equation}はただ1つの実数解をもつことを示せ。(2) (1)で定まるに対し、を示せ。(3) (1)で定まる数列に対し、 \begin{equation} a= \lim_{n \to \…

以下の問いに答えよ。(1) $n$を1以上の整数とする。$x$についての方程式 \begin{equation} x^{2n -1} = \cos x \end{equation}はただ1つの実数解をもつことを示せ。(2) (1)で定まるに対し、を示せ(3) (1)で定まる数列に対し、 \begin{equation} a= \lim_{n \…

関数がとしたときにに収束することを \begin{equation} \lim_{x \to a} f(x) = b \end{equation}で表します。 実数を限りなくに近付けると、は限りなくに近付く ということですが、厳密さが要求される場合、こういう表現をします。 任意のに対し、あるが存在…

一次変換$f$には、線型性があります。つまり、ベクトルおよび定数に対し、 \begin{equation} f( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = p \, f( \boldsymbol{u}) + q \, f(\boldsymbol{v}) \end{equation}が成り立ちます。 線型というのは - 数式で独楽する…

行列$A$で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、 $\lambda$を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。 固有値・固有ベクトル -…

点を通り、曲線に接する直線が存在するような定数$a$の範囲を求めよ。 解答例 \begin{equation} f(x) = e^{-x} - e^{-2x} \end{equation}とすると、 \begin{equation} f'(x) = -e^{-x} + 2e^{-2x} \end{equation}です。したがって、曲線上の点における接線の…

逆行列の求め方に「掃き出し法」と呼ばれる手法があります。 逆行列 - 数式で独楽する元の行列$A$に対して行列を作り、 以下の基本変形を加えての形になるとき、 行列$B$は$A$の逆行列になります。 ある行を定数倍する 2つの行を交換する ある行の定数倍を別…

本稿では、逆行列を具体的に余因子を用いて求めてみます。 \begin{equation} P= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&2\\0&2&1\\-1&1&-1 \end{array} \right) \end{equation}の逆行列を求めます。行列式は \begin{eqnarray} \mathrm{det} P &=& 1\cdot 2\cdot (-1…

正方行列の逆行列 \begin{equation} A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left( \begin{array}{cccc} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{ar…

行列の積の演算において \begin{equation} AI = IA = A \end{equation}を満たす行列を「単位行列」といいます。と表記する流儀もあります。 \begin{equation} I = \left( \begin{array}{ccc} 1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 && 1 \end{array} \right) \end{equat…

一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P, Q, RはそれぞれAB, AD, CD上にあり、3点A, P, Qおよび3点P, Q, Rはどちらも面積がの三角形の3頂点であるとする。の最大値、最小値を求めよ。 解答例 各点の座標を \begin{eqnarray} \mathrm{A}(0,0), & \quad \mat…

行列$A$で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、 $\lambda$を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。 固有値・固有ベクトル -…