四面体OABCが次を満たすとする。

ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてよい。

空間内の平面上にある円および円板を考える。を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐をとする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。空間内の平面を考える。すなわち、は平面上の直線と線分ABをともに含む平面である。の側面との交わりとしてできる曲線をとする…

空間内の平面上にある円および円板を考える。を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐をとする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。空間内の平面を考える。すなわち、は平面上の直線と線分ABをともに含む平面である。の側面との交わりとしてできる曲線をとする…

を満たす実数に対し、 \begin{equation} f(x) = \frac{\log (2x -1)}{x} \end{equation}とおく。必要ならばであること、および、自然対数の底がであることを証明なしで用いてよい。

空間において、点を中心とし半径がの球面と、点を中心とし半径がの球面を考える。

空間において、点を中心とし半径がの球面と、点を中心とし半径がの球面を考える。

を2以上の整数とする。

を2以上の整数とする。

以下の問いに答えよ。

を正の実数とし、とする。Oを原点とする平面上の放物線の頂点をAとする。直線OAとの交点のうちAと異なるものをPとし、Oからへ引いた接線の接点をQとする。ただし、とする。

平面上の点で座標、座標がともに整数である点を格子点という。(1)格子点を頂点とする三角形の面積は以上であることを示せ。(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき、この四角形は平行四辺形であることを示せ。

実数がを満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。 \begin{equation} (x +y -1) \log_2 (x +y) \geqq (x -1) \log_2 x +(y -1) \log_2 y +y \end{equation}

逆余弦関数の不定積分 \begin{equation} \int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x -\sqrt{1 -x^2} +C \end{equation}は積分定数です。

逆正弦関数の不定積分 \begin{equation} \int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x +\sqrt{1 -x^2} +C \end{equation}は積分定数です。

逆正接関数の不定積分 \begin{equation} \int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x -\frac{1}{2} \, \log (1 +x^2) +C \end{equation}は積分定数です。

逆三角関数の不定積分をまとめておきます。は積分定数です。

複素数はを満たしている。このとき、となる自然数が存在することを示せ。

を素数、を互いに素な正の整数とするとき、は実数ではないことを示せ。ただし、は虚数単位を表す。