本稿では、ベクトルの発散の持つ意味について見ていきます。

直方体ABCD-A'B'C'D'において、四角形ABCDと四角形A'B'C'D'は向かい合った1組の面であり、AA', BB', CC', DD'はこの直方体の辺である。ここでAA'=1, AB=1' AD=とする。この直方体の内部を通る線分AC'上に点Pをとり、Pを通りAC'に垂直な平面による直方体の切…

直方体ABCD-A'B'C'D'において、四角形ABCDと四角形A'B'C'D'は向かい合った1組の面であり、AA', BB', CC', DD'はこの直方体の辺である。ここでAA'=1, AB=1' AD=とする。この直方体の内部を通る線分AC'上に点Pをとり、Pを通りAC'に垂直な平面による直方体の切…

座標空間内に3点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)をとり、Dを線分ACの中点とする。三角形ABDの周および内部を軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。

次の関数 を考える。

次の関数 を考える。

座標空間内の点A(0, -1, 1)をとる。平面上の点Pが次の条件(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。

2以上の整数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。

平面上の点で座標、座標がともに整数である点を格子点という。は整数でとし、直線を考える。

平面上の点で座標、座標がともに整数である点を格子点という。は整数でとし、直線を考える。

関数を

(1) のとき、不等式が成立することを示せ。(2) 自然数に対して関数のにおける最大値をとする。このときを求めよ。

は互いに相異なる複素数とする。

は互いに相異なる複素数とする。

は互いに相異なる複素数とする。

0と異なる複素数に対して数列をで定める。すべての自然数についてが成立しているものとする。

関数は次の条件(イ)、(ロ)を満たしている。

原点を中心とする半径の円と放物線との両方に接する直線のなかに、たがいに直交するものがある。の値を求めよ。

を5以上の奇数とする。平面上の点Oを中心とする円をとり、それに内接する正角形を考える。個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ。ただし、どの4点も等確率で選ばれるものとする。選んだ4点を頂点とする四角形がOを内部に含む確率を求めよ。

点と直線の距離は \begin{equation} \frac{|ax_1 +by_1 +cz_1 +d|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}} \end{equation}

点と直線の距離は \begin{equation} \frac{|ax_1 +by_1 +c|}{\sqrt{a^2 +b^2}} \end{equation}

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以下の問いに答えよ。必要ならばであることを用いてよい。