円周角の定理とは、 同一の円弧に対する円周角は中心角の半分に等しい 同一の円弧に対する円周角は等しい 円周角の定理 - 数式で独楽する ということですが、2項を図に描いて表すと次のようになります。 円周上に4点A, B, P, Qがあり、P, Qは弦ABに対し同じ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の発散について述べます。 ここでは、ベクトルの内積のように導きます。 ベクトルの…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の発散について述べます。 直交座標系のベクトル成分の偏微分の和を球座標系のそれ…

円周角の定理 同一の円弧に対する円周角は中心角の半分に等しい 同一の円弧に対する円周角は等しい

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$のベクトルについて述べます。 球座標系を直交座標系に変換 直…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$のベクトルについて述べます。 スカラーの勾配 - 数式で独楽す…

11から19の掛け算は、一の位の九九を唱えると、その余韻に浸っている間に計算できます。 手順 (例1) 12×13 (例2) 19×18 種明かし 手順 手順は次の通りです。 一の位で九九「○○(が)△」と唱える間に以下の処理をします。 「○○(が)」の時に一の位の和を十の位に…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の勾配について述べます。 ここでは、 3次元球座標系の勾配 - 数式で独楽する とは…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の勾配について述べます。 スカラーの勾配 - 数式で独楽する 直…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 直交座標…

を2以上の自然数とし、を次の性質をみたす数列とする。

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 球座標系…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の速度と加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 球…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 3…

「相似」とは、形が同じで大きさが異なる図形に対して用います。 これに対し、形も大きさも同じなのは「合同」です。したがって、相似の条件は合同条件よりも緩いものになります。 三角形の相似条件は次の通りです。 三角形の合同条件 3組の辺の比が等しい 2…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 単…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 球…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 球…

両手の指を折るだけで、5から9の掛け算をすることができます。 フランス式らしく、1から5の掛け算ができることが前提です。 手順 (例1) 9×9 (例2) 9×8 (例3) 8×5 まとめ 種明かし 手順 手順は次の通りです。 5を超えた分だけ指を折ります。6なら1本、7なら2…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \end{eqnarray} で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$についてまとめます。 極座標 - 数式で独楽する 体積要素 \begin{equation} dV = r \, dr \, d\theta \, d…

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1:1に内分する点をE、辺BCを2:1に内分する点をF、辺CDを3:1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比AP:PQを求めよ。 とすると、 \begin{eqnarray} \overrigh…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の回転について述べます。 ここでは、ベクトルの外積のように導きます。 極座標 - 数式で独楽する …

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の回転について述べます。 極座標 - 数式で独楽する回転は、 \begin{equation} \nabla \times \bol…

スカラー$u$のラプラシアンを3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \end{eqnarray}のとき、 \begin{eqnarray} \nabla^2 …

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の発散について述べます。 ここでは、ベクトルの内積のように導きます。 ベクトルの発散 - 数式で…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の発散について述べます。 ベクトルの発散 - 数式で独楽する 極座標 - 数式で独楽する2次元極座標…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$のベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 2次元極座標系の場合に$z$成分を付け加え…

\begin{eqnarray} \alpha^3 &=& -4 + \sqrt{11} \, i \\ c &=& \alpha + \bar{\alpha} \end{eqnarray}とする。 (1) を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 (1)の答案 与えられた式から、 \begin{eqnarray} |\alpha|^6 &=& \alpha^3 \, \overline{\alpha^…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z\tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の勾配について述べます。 ここでは、 3次元円柱座標系の勾配 - 数式で独楽する とは異なるアプロー…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 極座標 - 数式で独楽する スカラーの勾配 - 数式で独楽する 2次元極座標系…