不定積分の部分積分は \begin{equation} \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx \end{equation}となります。 部分積分 - 数式で独楽するこれに対し、定積分の部分積分は、 \begin{equation} \int_a^b f'(x)g(x) dx = \left[ \begin{array}{c} \\…

不定積分の置換積分は、 変数xをと置くと \begin{equation} \int f(x) dx = \int f(g(t)) \frac{dx}{dt} dt = \int f(g(t)) g'(t) dt \end{equation} となるものです。これに対し、定積分の置換積分は次のようになります。定積分において、 変数xをx=g(t)に…

関数のからまでの定積分とは、次のように定まる極限値をいいます。 関数が区間で連続である。 区間を等分し、その分点をとする。 とする。 このときに以下の式で定まる極限である。 \begin{eqnarray} \int_a^b f(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n…

部分積分 \begin{equation} \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx \end{equation}

置換積分 変数をと置くと \begin{equation} \int f(x) \, dx = \int f(g(t)) \frac{dx}{dt} \, dt = \int f(g(t)) g'(t) \, dt \end{equation}

\begin{equation} \int \log x \ dx = x(\log x -1) +C \end{equation} この式を導くには少し工夫が必要です。 部分積分による導出 式中に明示的に出て来ない1を \begin{equation} 1 = (x)' \end{equation}と見て、部分積分を用います。 \begin{eqnarray} \i…

\begin{eqnarray} \int e^x dx &=& e^x +C \\ \int e^{kx} dx &=& \frac{1}{k} e^{kx} +C \qquad (k \ne 0) \\ \int a^x dx &=& \frac{1}{\log a} a^x +C \qquad (a \ne 0, 1) \end{eqnarray} 冒頭の式は、 \begin{eqnarray} (e^x)' &=& e^x \\ (e^{kx})' &=…

\begin{equation} \int \cot x \ dx = \int \frac{dx}{\tan x} = \log |\sin x| + C \end{equation} この式を導くには少し工夫が必要です。 まず、 \begin{equation} \int \cot x \ dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}dx \tag{1} \end{equation}です。 ここで…

\begin{equation} \int \tan x \ dx = -\log |\cos x| + C \end{equation}

\begin{eqnarray} \int \sin x \ dx &=& - \cos x +C \\ \int \cos x \ dx &=& \sin x +C \\ \int \frac{dx}{\cos^2 x} &=& \tan x +C \\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} &=& -\cot x +C = -\frac{1}{\tan x} +C \end{eqnarray} 冒頭で掲げた式は、 \begin{eqnarr…

\begin{eqnarray} \int x^n dx &=& \frac{1}{n +1} x^{n +1} +C \qquad (n \ne -1) \\ \int \frac{dx}{x} &=& \log |x| + C \end{eqnarray} 積分を導入するにあたって、 積分は微分と逆の演算である として、幾つかの関数の、ほぼ自明な積分の式が紹介されて…

開平計算の方法 - 数式で独楽する で述べたように、開平計算ができるのはなぜなのか？ 本稿では解説をしていきます。下に示すようにを定めます。 そして、それぞれの数の意味するところを両脇に添えます。 \begin{equation} \begin{array}{rrr} \\ \\ a_1 &&…

開平計算を、具体例を出してやってみます。 本稿では、を求めます。

正弦 \begin{equation} (\sin x)' = \cos x \end{equation} 正弦の微分 - 数式で独楽する 余弦 \begin{equation} (\cos x)' = -\sin x \end{equation} 余弦の微分 - 数式で独楽する 正接 \begin{equation} (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \e…

を求めよ。

を求めよ。

1からまでの自然数の和は \begin{equation} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1) \end{equation}と表すことができます。導出は、 自然数の和 - 数式で独楽する 自然数の和 その2 - 数式で独楽する 自然数の和 その3 - 数式で独楽する の他に、次のようなも…

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

円周率は、次のように表すことができます。

円周率は、次のように表すことができます。

逆正弦関数は、 \begin{equation} \sin^{-1} x = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \qquad (|x| \le 1) \tag{1} \end{equation}で表されます。 逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

フィボナッチ数列とは、 \begin{eqnarray} F_0 &=& 0 \\ F_1 &=& 1 \\ F_{n+2} &=& F_{n+1} + F_n \qquad (n \ge 0) \end{eqnarray} で定義される数列のことです。

\begin{equation} x\ll 1 \end{equation}のとき、 \begin{equation} (1+x)^n \simeq 1+nx \end{equation}となることは、 (1+x)n乗の近似 - 数式で独楽する で述べました。

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

マクローリン(Maclaurin)展開 \begin{eqnarray} f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray} マクローリン展開 - 数式…

までの連分数表記をまとめます。