2019年、京大 文系 第3問 - 数式で独楽する で触れた、実数を係数に持つ2次方程式 \begin{equation} ax^2+bx+c=0 \tag{1} \end{equation}の解について見ていきます。 大前提として、2次方程式なのでです。

関数のグラフは、座標平面で原点に関して対称である。さらにこのグラフのの部分は軸が軸に平行で点を頂点とし原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

実数の間の等式 \begin{equation} \sqrt[3]{5\sqrt{2} +7} -\sqrt[3]{5\sqrt{2} -7} = 2 \tag{*} \end{equation}を以下の手順に従って示せ。

\begin{equation} \alpha = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} +1 \ } -\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} -1 \ } \end{equation}とする。

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

2以上の自然数に対し、とがともに素数となるのはの場合に限ることを示せ。

3次式の2次の項を消すことを、立方完成(立体完成)といいます。

点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

\begin{equation} x^3 +y^3 +z^3 -3xyz = (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^3 -xy -yz -zx) \end{equation}

\begin{equation} x^3 +y^3 +z^3 -3xyz = (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^3 -xy -yz -zx) \end{equation}

3次方程式は \begin{equation} x^3 +px +q = 0 \end{equation}と変形することが可能。

を2次式とする。整式はでは割り切れないが、はで割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数がを満たし、さらに任意の実数に対してであって

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数がを満たし、さらに任意の実数に対してであって

△ABCの頂点A, B, C、傍心IA, IB, ICの位置ベクトルをそれぞれとすると、

点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき、△ABCはどのような三角形か。

点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき、△ABCはどのような三角形か。

△ABCの頂点A, B, C、垂心Hの位置ベクトルをそれぞれとすると、

を3以上の素数とする。4個の整数が次の条件

△ABCにおいて、辺BC上の点P、辺CA上の点Q、辺AB上の点Rが

1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

△ABCの頂点A, B, C、内心Iの位置ベクトルをそれぞれとすると、

△ABCの頂点A, B, C、外心Pの位置ベクトルをそれぞれとすると、

定積分を求めよ。