袋の中に$N$個の白玉と3個の赤玉がある。「袋の中の$(N+3)$個の玉から無作為に1個を取り出し、次に外部にある白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す。$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率をとする。また、$n$回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が$i$個$(i…

袋の中に$N$個の白玉と3個の赤玉がある。「袋の中の$(N+3)$個の玉から無作為に1個を取り出し、次に外部にある白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す。$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率をとする。また、$n$回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が$i$個$(i…

双曲線の焦点には次のような性質があります。 双曲線状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点から発したように見える。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 双曲線上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにお…

軸上の点Pと定点A(0, 2)に対し、APを直径とする円をとする。点Qを、PQの中点=「と直線の交点」となるようにとる。(1) を求めよ。(2) Pが軸上の負の部分すべてを動くとき、対応するQ全体はどのような曲線になるか。また直線PQはこの曲線の、点Qでの、接線とな…

楕円の焦点には次のような性質があります。 楕円状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点に達する。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 楕円上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにおける楕円の接線と等し…

3組の対辺が互いに垂直であるような四面体$V$がある。このとき$V$の各辺の中点は、$V$の重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ。 方針 問題文が簡潔に書かれています。 「各辺の中点が同一球面上にある」ことを示せ、とあります。 座標空間内に四…

\begin{equation} \frac{x^2}{a_2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1} \end{equation}で表される双曲線上の点Pで引いた接線の方程式は、 \begin{equation} \frac{x_0 \, x}{a^2} - \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 \tag{2} \end{equation}である。 式(1)で表される双…

\begin{equation} \frac{x^2}{a_2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1} \end{equation}で表される楕円上の点Pで引いた接線の方程式は、 \begin{equation} \frac{x_0 \, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 \tag{2} \end{equation}である。 式(1)で表される楕円…

\begin{equation} x^2 + y^2 = r^2 \tag{1} \end{equation}で表される円周上の点Pで引いた接線の方程式は、 \begin{equation} x_0 \, x + y_0 \, y = r^2 \tag{2} \end{equation}である。

平面内で軸上の点Pを中心とする円が2つの曲線

平面内で軸上の点Pを中心とする円が2つの曲線

「方べきの定理」に、逆があります。 方べきの定理 - 数式で独楽する 方べきの定理の逆 2線分AB, CDもしくは2線分AB, CDの延長が点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ…

「方べきの定理」に、逆があります。 方べきの定理 - 数式で独楽する 方べきの定理の逆 2線分AB, CDもしくは2線分AB, CDの延長が点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ…

におけるの最大値を求めよ。ただし、およびが成り立つことは証明なしに用いてよい。

「方べきの定理」に、逆があります。 方べきの定理 - 数式で独楽する 方べきの定理の逆 2線分AB, CDもしくは2線分AB, CDの延長が点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ…

「方べきの定理」に、逆があります。 方べきの定理 - 数式で独楽する 方べきの定理の逆 2線分AB, CDもしくは2線分AB, CDの延長が点Pで交わり、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{equation} が成り立つ…

「解と係数の関係」 2次方程式の解をとすると、

「方べきの定理」は、交わる円と直線に関する定理です。 「方」は四角、「冪(べき)」は掛け算ということです。

「方べきの定理」は、交わる円と直線に関する定理です。 「方」は四角、「冪(べき)」は掛け算ということです。 方べきの定理 円周上にない点Pを通る2直線がそれぞれ2点A, BおよびC, Dで交わるならば、\begin{equation} \mathrm{P A} \cdot \mathrm{PB} = \ma…

ユークリッドの互除法は、2つの自然数の最大公約数を求める手法です。 自然数について、をで割った余りをとするとき、すなわち

対角の和が180°である四角形は、円に内接する。 「円に内接する四角形の対角の和は180°である」 円に内接する四角形 - 数式で独楽する の逆の命題です。図を用いると、 四角形ABCDについて∠A + ∠C = 180°ならば、四角形ABCDは円に内接する。 ということです…

を自然数とする。整式を整式で割った余りをとする。このときとは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。 整式を、整式を用いて \begin{equation} x^n = (x^2 -2x -1)Q_n(x) + a_n x + b_n \tag{1} \end{equation}と表すこと…

フェルマーの小定理は、素数の性質に関する定理で、冪乗(巾乗、べき乗)の剰余の定理です。 かの有名なフェルマーの最終定理*1 フェルマーの小定理 素数、任意の整数に対して \begin{equation} a^p \equiv a \mod p \end{equation}が成り立つ。 特に、が互い…

接弦定理に対し、接弦定理の逆があります。 接弦定理 - 数式で独楽する 接弦定理の逆 直線ABに対し2点C, Dが反対側にあり、∠BAD = ∠BACならば、直線ADは三角形ABCの外接円の接線となる。 頂点Aで三角形ABCの外接円の接線を引きます。 辺ABに対して点Dと同じ…

接弦定理 円の接線と接点を一方の端とする弦のなす角は、弦に対する円周角に等しい 接弦定理は、円の接線と弦と円周角についての定理です。 図において、 \begin{equation} \angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA} \end{equation} となるというものです…

を自然数とする。をで割った余りをとする。は互いに素な整数であることを示せ。 整式$x^n$は、整式$Q(x)$を用いて \begin{equation} x^n = (x -k)(x -k -1)Q(x) + ax + b \tag{1} \end{equation}と表すことができます。 これより、 \begin{eqnarray} k^n &=&…

円に内接する四角形の 対角の和は180°である。 または 内角と対角の外角は等しい。 円に内接する四角形について2つの命題を掲げていますが、同じことを言っています。 四角形ABCDが円に内接しています。 円の中心をOとし、補助線OB, ODを引きます。円周角A, …

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \end{eqnarray} で表される3次元の球座標系についてまとめます。 極座標 - 数式で独楽する

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば座標1の点に関して対称な点に石を移動する。 (1) 石が座標$x$の点にあるとする。2回硬貨を投げ…

スカラーのラプラシアンを3次元の球座標系で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する