一辺の長さがである正十角形の面積

一辺の長さがである正八角形の面積

一辺の長さがである正角形の面積

一辺の長さがである正五角形の面積

一辺の長さがである正六角形の面積

一辺の長さがである正三角形の面積

一辺の長さがである正多角形の面積をまとめます。

とする。次の(*)が成り立つためのについての必要十分条件を求めよ。

とし、で定義された関数を考える。のグラフより下側で軸より上側の部分の面積をを用いて表せ。ただし、は自然対数の底である。

を0以上の整数とする。を未知数とする方程式 \begin{equation} (*) \quad a^2 +b^2 = 2^n \end{equation}を考える。

を実数とする。についての2次方程式が2つの解をもつとする。複素平面上3点が三角形の3頂点となり、その三角形の重心は0であるという。を求めよ。

とする。におけるの最大値および最小値を求めよ。

\begin{equation} {{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 -\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{(-1)^n \, {}_n C_n}{n +1} = \frac{1}{n +1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0 \end{equation}

を2以上の自然数とする。をで割った余りをとする。すなわち、の多項式があって

【利息のはなし】○分の1年複利を考える - 数式で独楽する ネイピア数 - 数式で独楽する では、自然数に対して \begin{equation} \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e \tag{1} \end{equation}であることを述べました。

\begin{equation} {}_n C_1 +2 \, {}_n C_2 +\cdots +n \, {}_n C_n = n \cdot 2^{n -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1} = \frac{2^{n +1} -1}{n +1} \end{equation}