一辺の長さが
である正八角形の面積
\begin{equation}
S = 2 \left( \sqrt{2} +1 \right) \, a^2
\end{equation}
図のように分割すると、二等辺三角形が8個できます。
頂角は45°、底角は67.5°です。
二等辺三角形の高さは
\begin{eqnarray}
h &=& \frac{a}{2} \, \tan 67.5^\circ \\
&=& \frac{\sqrt{2} +1}{2} \, a
\end{eqnarray}です。
代表的な角度の三角比 - 数式で独楽する
三角比22.5ºと67.5º - 数式で独楽する
面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& 8 \cdot \frac{ah}{2} \\
&=& 8 \cdot \frac{\sqrt{2} +1}{4} \, a^2 \\
&=& 2 \left( \sqrt{2} +1 \right) \, a^2
\end{eqnarray}となります。
なお、
\begin{equation}
S = \frac{na^2}{4} \, \tan \left( 90^\circ -\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{na^2}{4} \, \cot \frac{\pi}{n}
\end{equation}にを入れると出てきます。
正多角形の面積 - 数式で独楽する
