一辺の長さが
である正五角形の面積
\begin{equation}
S = \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5}\ }}{4} \, a^2
\end{equation}
図のように分割すると、二等辺三角形が5個できます。
頂角は72°、底角は54°です。
二等辺三角形の高さは
\begin{eqnarray}
h &=& \frac{a}{2} \, \tan 54^\circ \\
&=& \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5}\ }}{10} \, a
\end{eqnarray}です。
代表的な角度の三角比 - 数式で独楽する
三角比36ºと54º - 数式で独楽する
面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& 5 \cdot \frac{ah}{2} \\
&=& 5 \cdot \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5}\ }}{2 \cdot 10} \, a^2 \\
&=& \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5} \ }}{4} \, a^2
\end{eqnarray}となります。
なお、
\begin{equation}
S = \frac{na^2}{4} \, \tan \left( 90^\circ -\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{na^2}{4} \, \cot \frac{\pi}{n}
\end{equation}にを入れると出てきます。
正多角形の面積 - 数式で独楽する
