複素数値関数が「正規直交関数系」をなすとは、

1変数で係数が実数の代数方程式がある複素数を解に持つとき、その共軛複素数(共役複素数)も解に持ちます。

個のボールを個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をとする。このとき、極限値を求めよ。

複素数 複素数 - 数式で独楽する \begin{equation} z = x + y \, i \quad (x, y \in \mathbb{R}) \tag{1} \end{equation}に対し、 \begin{equation} \bar{z} = x - y \, i \tag{2} \end{equation}で表される数を「共軛複素数(共役複素数)」といいます。 共軛…

とする。3辺の長さがである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときを用いてを表せ。

複素数値関数の「正規化」または「規格化」とは、 \begin{equation} \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b ||A(x)||^2 \, dx = \int_a^b \overline{f(x)} f(x) \, dx = 1 \end{equation}とすることをいいます。 つまり、自身との内積、ノルムが1となること…

を正の実数とする。座標平面において曲線と軸とで囲まれた図形の面積をとし、曲線および軸で囲まれた図形の面積をとする。このときとなるようなの値を求めよ。

四面体ABCDにおいて、と、と、とはそれぞれ垂直であるとする。頂点A、頂点Bおよび辺CDの中点Mを通る平面は、辺CDと直交することを示せ。

「ノルム」を突き詰めるといろいろ複雑ですが、ここでは 平方和の平方根 に限定して話を進めます。

を正の実数とする。座標平面上の3点A(0, 1), B(0, 2), P()をとり、△APBを考える。の値が変化するとき、∠APBの最小値を求めよ。

空間で、原点Oを中心とする半径の球面と3点(4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4)を通る平面が共有点を持つことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積の取り得る値の範囲を求めよ。

複素数値関数の「直交」とは、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx = 0 \end{equation}となることをいいます。 つまり、内積が0となることをいいます。式中のオーバーラインは、複素共役(共軛)を意味します…

空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A, B, C, Dを同時に通る球面が存在することを示せ。

複素数値関数の「内積」は、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx \end{equation}と定義します。式中のオーバーラインは、複素共役(共軛)を意味します。 共軛複素数 - 数式で独楽する

は2以上の整数であり、であるとき、不等式 \begin{equation} (1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_n) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{n -1}} \right) \end{equation}が成立することを示せ。

関数は、周期がの周期関数とします。 \begin{equation} f(x +2L) = f(x) \end{equation}とします。

平面上で、のグラフとのグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

関数が「正規直交関数系」をなすとは、