を満たす複素数をすべて求めよ。

を満たす複素数をすべて求めよ。

虚数単位の平方根 \begin{equation} \sqrt{i} = \pm \frac{1 +i}{\sqrt{2}} \end{equation}

を満たす最大の自然数を求めよ。ただし、(は自然対数の底)である。

座標空間内の点A(0, 0, 2)と点(1, 0, 1)を結ぶ線分ABを軸のまわりに1回転させて得られる曲面をとする。上の点Pと平面上の点QがPQ=2をみたしながら動くとき、線分PQの中点Mが通過しうる範囲をとする。の体積を求めよ。

座標平面上の曲線 \begin{equation} C: \quad y = x^3 -x \end{equation}を考える。

数列を次のように定める。

次の関数を考える。

数列を次の式

\begin{equation} f(x) = \left \{ \begin{array}{cl} b & (|x| 0 & (|x| > a) \end{array} \right. \end{equation}のフーリエ変換は \begin{equation} \hat{f} (q) = \frac{2b \sin aq}{q} \end{equation}

\begin{equation} f(x) = \left \{ \begin{array}{cl} e^{-ax} & (x > 0) \\ 0 & (x \end{array} \right. \tag{1} \end{equation}のフーリエ変換は \begin{equation} \hat{f} (q) = \frac{1}{a +iq} \end{equation}

下図の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って頂点を回移動する。すなわち

曲線、軸および軸で囲まれる図形の面積をとする。とし、上の点Qと原点O、およびP、Rを頂点とする長方形の面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。

四面体OABCが \begin{eqnarray} && \mathrm{OA} = 4 \\ && \mathrm{OB = AB = BC} =3 \\ && \mathrm{OC = AC} = \sqrt{3} \end{eqnarray}を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。

を正の実数とする。直線と曲線との2つの交点のうち、座標が正のものをP、負のものをQとする。またと軸との交点をR、と軸との交点をSとする。が条件

を自然数とする。3つの整数の最大公約数を求めよ。