サインとコサインはどちらかに合成することができます。 本稿ではコサインに合成します。 \begin{equation} a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{b}{a} \right) \end{equation} 証…

△ABCは鋭角三角形であり、とする。また△ABCの外接円の半径は1であるとする。(1) △ABCの内心をPとするとき、∠BPCを求めよ。(2) △ABCの内接円の半径$r$の取りうる値の範囲を求めよ。 小問(1)の解答例 小問(2)の解答例 解説 小問(1)の解答例 内心Pは、内角の二…

一辺の長さがの正四面体の体積は、 \begin{equation} V = \frac{\sqrt{12}}{2} \, a^3 \end{equation}です。

底面積、高さの円錐、角錐の体積$V$は \begin{equation} V = \frac{1}{3} \, Sh \end{equation}であることは、中学校で習います。 ですが、なぜそうなるのかは、教えてくれません。

四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。(1) とが平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これら…

四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。(1) とが平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これら…

個の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して積をとり、 さらに適当に定数を乗じ、 和をとったもの を「2次形式」といいます。

$i$を虚数単位とし、とおく。また$n$はすべての自然数にわたって動くとする。このとき、 (1) は何個の異なる値をとり得るか。 (2) の値を求めよ。 小問(2)ですが、工夫すれば誘導がなくても解けそうです。 本稿では、因数分解を使っていきます。 解答例 \beg…

を虚数単位とし、とおく。またはすべての自然数にわたって動くとする。このとき、(1) は何個の異なる値をとり得るか。(2) の値を求めよ。 小問(1)の解答例 \begin{eqnarray} a &=& e^{\pi i/3} \\ a^3 &=& -1 \\ a^6 &=& 1 \end{eqnarray}です。 指数関数の…

面積が変わる板の種を明かしていきます。 本稿では、数式で攻めていきます。面積の変わる板 21×21 - 数式で独楽する 面積の変わる板 13×13 - 数式で独楽する 面積の変わる板 8×8 - 数式で独楽する 面積の変わる板 5×5 - 数式で独楽する で登場した数字は、 2…

面積が変わる板の種を明かしていきます。 面積の変わる板 21×21 - 数式で独楽する 面積の変わる板 13×13 - 数式で独楽する 面積の変わる板 8×8 - 数式で独楽する 面積の変わる板 5×5 - 数式で独楽する合わせると正方形になる板を並べ替えて長方形にしたもの…

5×5の正方形の板があります。面積は25です。 この板を、図のように4つに切ります。4つの小片の内訳は次の通りです。 台形×2 (直角あり。上底2、下底3、高さ3) 直角三角形×2 (垂辺2、底辺5) これらの小片を、図のように並べ替えます。8×3の長方形になりました…

8×8の正方形の板があります。面積は64です。 この板を、図のように4つに切ります。4つの小片の内訳は次の通りです。 台形×2 (直角あり。上底3、下底5、高さ5) 直角三角形×2 (垂辺3、底辺8) これらの小片を、図のように並べ替えます。13×5の長方形になりまし…

13×13の正方形の板があります。面積は441です。 この板を、図のように4つに切ります。4つの小片の内訳は次の通りです。 台形×2 (直角あり。上底5、下底8、高さ8) 直角三角形×2 (垂辺5、底辺13) これらの小片を、図のように並べ替えます。21×8の長方形になり…

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。行列$A$は対称行列です。 対称行列とエ…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固有ベ…

21×21の正方形の板があります。面積は441です。 この板を、図のように4つに切ります。4つの小片の内訳は次の通りです。 台形×2 (直角あり。上底8、下底13、高さ13) 直角三角形×2 (垂辺8、底辺21) これらの小片を、図のように並べ替えます。34×13の長方形にな…

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。まず、固有値・固有ベクトルは \begin{equation} \lambda=2, \…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固有ベクトルを求めます。す…

相異なる固有値、固有ベクトルをもつ対称行列は、 固有ベクトルを並べて作った直交行列で、 固有値を並べて作った対角行列に 対角化することができます。 行列の対角化 - 数式で独楽する 相異なる固有値と付随する固有ベクトル - 数式で独楽する固有値が重複…

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。まず、固有値・固有ベクトルは \beg…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固…