\begin{equation} [\log_2 (x+50)] = [\log_2 x] +3 \end{equation}を満たすの範囲を求めよ。

同次形 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = f \left( \frac{y}{x} \right) \end{equation} 微分方程式は、解くことができないことがざらにありますが、 解くことができる形が幾つかあります。

正の数に対し、 \begin{eqnarray} f(xy) &=& f(x)+f(y) \tag{1} \\ f'(1) &=& a \quad (\ne 0) \tag{2} \end{eqnarray} を満たす関数を求めよ。

\begin{eqnarray} f(x+y) &=& f(x)f(y) \tag{1} \\ f'(0) &=& a \quad (\ne 0) \tag{2} \end{eqnarray} を満たす関数を求めよ。

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。 本稿はその第3弾です。

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。 本稿はその第3弾です。

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。 本稿はその第2弾です。

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。 本稿はその第1弾です。

変数分離形 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = f(x) \, g(y) \end{equation}

直接積分形 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = f(x) \end{equation}

定積分の部分積分は、 \begin{equation} \int_a^b f'(x)g(x) dx = \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x)g(x) \ \right] _a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx \end{equation} 定積分の部分積分 - 数式で独楽する ですが、次のように導くことができます。

微分方程式の解 与えられた微分方程式を満たす関数を、微分方程式の「解」といいます。 解を求めることを、微分方程式を「解く」といいます。

微分方程式 \begin{equation} y' = \lambda y \end{equation}のような、未知関数の導関数を含む等式を、「微分方程式」といいます。 n階微分方程式 微分方程式が次導関数を含み、それより高い次数の導関数を含まないとき、 これを「階微分方程式」といいます…

双曲線関数の引数の意味するところは次の通りです。

双曲線関数の不定積分 \begin{eqnarray} \int \cosh x \ dx &=& \sinh x + C \\ \int \sinh x \ dx &=& \cosh x + C \end{eqnarray}

双曲線関数の微分 \begin{eqnarray} (\cosh x)' &=& \sinh x \\ (\sinh x)' &=& \cosh x \end{eqnarray}

三角関数は、指数関数を用いて \begin{eqnarray} \cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ \sin x &=& \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray} と表すことができます。

関数を次のように定義します。 \begin{eqnarray} \cosh x &=& \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sinh x &=& \frac{e^x - e^{-x}}{2} \end{eqnarray}

三角関数は、指数関数を用いて表すことができます。

\begin{equation} 9^x + 15^x = 25^x \end{equation}を満たす未知数を求めよ。

指数関数の表記には、 \begin{equation} \exp x = e^x \end{equation}というのもあります。場合によっては、の表記をすることもあります。

連続する整数の積で和をとると、 \begin{equation} \sum_{k=1}^n k(k + 1)\cdots(k + m - 1) = \frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots(n+m) \end{equation}となります。

連続する3整数の積で和をとると、 \begin{equation} \sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3) \end{equation}となります。

連続する2整数の積で和をとると、 \begin{equation} \sum_{k=1}^n k(k + 1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) \end{equation}となります。

e^x \begin{equation} e^x \end{equation}

\begin{equation} \alpha = 1 +\sqrt{3} i \end{equation}のとき、 \begin{equation} \frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3} \end{equation}を求めよ。

\begin{equation} \alpha = 1 +\sqrt{3} i \end{equation}のとき、 \begin{equation} \frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3} \end{equation}を求めよ。

高校の教科書では、主要な関数の微分すなわち導関数を求め、その逆の演算として積分すなわち原始関数を求めます。 本稿では、その逆ができないか、考えてみます。

高校の教科書では、主要な関数の微分すなわち導関数を求め、その逆の演算として積分すなわち原始関数を求めます。 本稿では、その逆ができないか、考えてみます。

高校の教科書では、主要な関数の微分すなわち導関数を求め、その逆の演算として積分すなわち原始関数を求めます。 本稿では、その逆ができないか、考えてみます。