を実数とし、Oを原点とする座標平面において、行列により表される1次変換をとする。この1次変換が2つの条件

定積分を求めよ。

箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をとする。これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び…

関数の「正規化」または「規格化」とは、 \begin{equation} \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b \{ A(x) \}^2 \, dx = 1 \end{equation}とすることをいいます。 つまり、自身との内積、ノルムが1となることをいいます。

次の命題(p), (q)のそれぞれについて、正しいかどうかを答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。

次の命題(p), (q)のそれぞれについて、正しいかどうかを答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。

無理数と0でない有理数の和は、無理数です。

無理数と有理数の和は、無理数です。

「ノルム」を突き詰めるといろいろ複雑ですが、ここでは 平方和の平方根 に限定して話を進めます。関数の「ノルム」は、 \begin{equation} ||A(x)||^2 = \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b \{ A(x) \}^2 \, dx \end{equation}です。

(1) が無理数であることを証明せよ。(2) は有理数を係数とするの多項式で、を満たしているとする。このときはで割り切れることを示せ。

(1) が無理数であることを証明せよ。(2) は有理数を係数とするの多項式で、を満たしているとする。このときはで割り切れることを示せ。

本稿では、が無理数であることの証明を紹介します。

「背理法」とは、において、 命題を否定し、 矛盾が生じることを示す ことでが正しいことを示す手法です。

関数の「直交」とは、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b A(x) B(x) \, dx = 0 \end{equation}となることをいいます。 つまり、内積が0となることをいいます。

さいころを回投げて出た目を順にとする。さらに \begin{equation} Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n) \end{equation}によってを定める。となる確率を求めよ。

さいころを回投げて出た目を順にとする。さらに \begin{equation} Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n) \end{equation}によってを定める。となる確率を求めよ。

関数の「内積」は、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b A(x) B(x) \, dx \end{equation}と定義します。

行列によって定まる平面の1次変換をとする。原点以外のある点PがによってP自身に移されるならば、原点を通らない直線であって、のどの点もによっての点に移されるようなものが存在することを証明せよ。

正四面体OABCにおいて、点P, Q, Rをそれぞれ辺OA, OB, OC上にとる。ただしP, Q, Rは正四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ, QR, RPはそれぞれ3辺AB, BC, CAに平行であることを示せ。

自然数の2乗の逆数で和をとると、次のようになります。

実数が条件を満たしながら動くとき、 \begin{equation} x^2 y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \end{equation}がとりうる値の範囲を求めよ。

円周率は、次のように表すことができます。

定積分の値を求めよ。

が正の実数のとき、を求めよ。