座標空間において、平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点(0, 0, 2)を頂点とする円錐(内部を含む)をとする。また、点A(1, 0, 2)を考える。

を満たす実数に対し、 \begin{eqnarray} x(t) &=& (1 + t)\sqrt{1 + t} \\ y(t) &=& 3(1 + t)\sqrt{1 - t} \end{eqnarray}とする。座標平面上の点Pを考える。

ベクトルに対し、 \begin{equation} \nabla (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B} + \boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) + \boldsymb…

ベクトルに対し、 \begin{equation} \nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} \, (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{B} + …

ベクトルに対し、 \begin{eqnarray} \mathrm{div} (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{B} \cdot (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{B}) \\ \nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times …

次の数式系を考える。 \begin{eqnarray} \log_4 x + \log_8 (yz) &=& 2 \\ \log_4 y + \log_8 (zx) &=& 4 \\ \log _4 z + \log_8 (xy) &=& 5 \end{eqnarray}がと表される場合、を求めよ。

ベクトルとスカラーに対し、 \begin{eqnarray} \mathrm{rot} (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\mathrm{grad}\, \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}) \\ \nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \times \boldsy…

ベクトルとスカラーに対し、 \begin{eqnarray} \mathrm{div} (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\mathrm{grad} \, \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{A}) \\ \nabla \cdot (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \cdot \bolds…

スカラーに対し、 \begin{eqnarray} \mathrm{grad} (\phi \psi) &=& \phi \, \mathrm{grad} \, \psi + \psi \, \mathrm{grad} \, \phi \\ \nabla(\phi \psi) &=& \phi \nabla \psi + \psi \nabla \phi \end{eqnarray} が成り立ちます。

平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。

「72の法則」とは、 元本と利子の合計が元本の2倍になるおおよその年数は、72を利率で割ると得られる というものです。 ただし、利子は複利で出しています。元本を1、年利をとしたとき、年後の元本と利子の合計が2倍となっているので、 \begin{equation} (1 …

平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。

平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。

ベクトル \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} &=& A_1 \, \boldsymbol{e}_1 + A_2 \, \boldsymbol{e}_2 + A_3 \, \boldsymbol{e}_3 \\ && \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \be…

スカラーに対し、 \begin{eqnarray} \mathrm{grad} \, \phi &=& \boldsymbol{e}_1 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_1} + \boldsymbol{e}_2 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_2} + \boldsymbol{e}_3 \, \frac{\partial \phi}{\partial x_3} \\ && \bol…

ベクトル \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} &=& A_1 \, \boldsymbol{e}_1 + A_2 \, \boldsymbol{e}_2 + A_3 \, \boldsymbol{e}_3 \\ && \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \be…

2ベクトルが媒介変数の関数となっている場合、 2ベクトルの外積のの媒介変数による微分は、次のようになります。 \begin{equation} \frac{d}{dt}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol…

2ベクトルが媒介変数の関数となっている場合、 2ベクトルの内積のの媒介変数による微分は、次のようになります。 \begin{equation} \frac{d}{dt}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \cdot \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A…

3次元のベクトルに対し、 \begin{equation} \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \end{equation}を、「ベクトル3重積」といいます。 記号は外積を表します。

ベクトルとスカラーが媒介変数の関数となっている場合、 ベクトルのスカラー倍の媒介変数による微分は、次のようになります。 ベクトルとスカラーの積を媒介変数で微分します。 \begin{equation} \frac{d}{dt}(\phi \boldsymbol{A}) = \frac{d \phi}{dt} \, …

ベクトルが媒介変数の関数となっている場合、 ベクトルの媒介変数による微分は、ベクトルの各成分を媒介変数で微分したものになります。

を、を満たす整数とする。個の整数 \begin{equation} 2^m \quad (m=0,1,2, \cdots , n -1) \end{equation}から異なる個を選んでそれらの積をとる。個の整数の選び方すべてに対し、このように積をとることにより得られる個の整数の和をとおく。例えば、

を、を満たす整数とする。個の整数 \begin{equation} 2^m \quad (m=0,1,2, \cdots , n -1) \end{equation}から異なる個を選んでそれらの積をとる。個の整数の選び方すべてに対し、このように積をとることにより得られる個の整数の和をとおく。例えば、

を、を満たす整数とする。個の整数 \begin{equation} 2^m \quad (m=0,1,2, \cdots , n -1) \end{equation}から異なる個を選んでそれらの積をとる。個の整数の選び方すべてに対し、このように積をとることにより得られる個の整数の和をとおく。例えば、

次の和を求めよ。 \begin{equation} \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{1} \right) + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \cdots + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{99} \right) \end{equation}

を実数とする。不等式 \begin{eqnarray} ax^2 + bx + c &>& 0 \\ bx^2 + cx + a &>& 0 \\ cx^2 + ax + b &>& 0 \end{eqnarray} をすべて満たす実数の集合と、を満たす実数の集合が一致しているとする。

「偏微分」とは、多変数函数についてある変数について微分することをいいます。このとき、他の変数は定数と見なして微分を行っています。

の2次関数で、そのグラフがのグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ。ただし、2つの関数のグラフが直交するとは、その点が2つのグラフの共有点であり、かつ接線どうしが直交することをいう。

3次元のベクトルに対し、 \begin{equation} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) \end{equation}を、「スカラー四重積」といいます。 記号は内積、は外積を表します。次の関係があります。 スカラー四重積…

正の整数に対し \begin{equation} a = 3^b \, c \quad (b, c\mbox{は整数で、$c$は3で割り切れない}) \end{equation}の形に書いたとき、と定める。例えばである。 は整数で、次の条件を満たすとする。