が素数ならば、 は素数でないことを示せ。

3以上9999以下の奇数でが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。半径の円が軸上を右へ転がるとき、原点にあった点Pの軌跡は、 \begin{eqnarray} x &=& a(\theta - \sin \theta) \\ y &=& a(1- \cos \theta) \end{eqnarray}と書くことができます…

が共に素数とする。素数を求めよ。

剰余の定理 整式をで割った余りはである。因数定理 整式はを因数に持つ(割り切れる) ⇔ 剰余の定理と因数定理は、整式の因数と余りについての重要な定理です。 整式が1次式の因数を持つかどうかを判定する、強力なツールです。 剰余の定理 整式を1次式で割る…

直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。

とする。の範囲で曲線、直線、直線に囲まれた部分をとする。このときの最小値を求めよ。 (ここで「囲まれた部分」とは、上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。) 解答例 解説 解答例 曲線について、 \begin{equation} y' = e^…

直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。半径の円が軸上を右へ転がるとき、原点にあった点Pの軌跡は、 \begin{eqnarray} x &=& a(\theta - \sin \theta) \\ y &=& a(1- \cos \theta) \end{eqnarray}と書くことができます…

(1) 多項式を考える。がすべて整数ならば、すべての整数$n$に対し、が整数であることを示せ。(2) がすべて整数の場合はどうか？ 小問(1)の解答例 小問(2)の解答例 解説 小問(1) 小問(2) 小問(1)の解答例 条件より、 \begin{eqnarray} f(0) &=& c \in \mathbb…

直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。半径の円が軸上を右へ転がるとき、原点にあった点Pの軌跡は、 \begin{eqnarray} x &=& a(\theta - \sin \theta) \\ y &=& a(1- \cos \theta) \end{eqnarray}と書くことができます…

四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ。

素数は、 約数を2つ持つ数 です。 素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。 なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。さて、この素数、無限に存在するかどうかですが、意外と容易に分かります。素数が有限個しか存在し…

自然数の関数を、 \begin{eqnarray} f(n) &=& nを7で割った余り \\ g(n) &=& 3 \, f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right) \end{eqnarray}によって定める。(1) すべての自然数に対してを示せ。(2) あなたの好きな自然数を一つ決めてを求めよ。そのの値をこの設問…

個の複素数の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して、 片方を複素共軛にして積をとり、 さらに適当に定数(複素数)を乗じ、 和をとったもの を「エルミート2次形式」といいます。数式で記述すると、 \begin{equation} Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_…

素数を用いてと表される素数をすべて求めよ。 解答例 解説 解答例 が共に奇数である場合、 は偶数、つまり2の倍数 になります。 したがって、少なくとも一方は偶数の素数、すなわち2となります。の場合、 \begin{equation} p^q + q^p = 2^2 + 2^2 = 8 \end{e…

正三角形の各頂点を中心にして、一辺の長さを半径とする円弧を描いてできる図形を、「ルーローの三角形」といいます。 ルーローの三角形の周長と面積 - 数式で独楽するこのルーローの三角形は、どの方向から見ても幅が一定である「定幅図形」です。ルーロー…

正三角形の各頂点を中心にして、一辺の長さを半径とする円弧を描いてできる図形を、「ルーローの三角形」といいます。 ルーローの三角形の周長と面積 - 数式で独楽するこのルーローの三角形は、どの方向から見ても幅が一定である「定幅図形」です。ルーロー…

正三角形の各頂点を中心にして、一辺の長さを半径とする円弧を描いてできる図形を、「ルーローの三角形」といいます。 周の長さ 正三角形の一辺の長さがであるルーローの三角形の周の長さは、 \begin{equation} l = \pi a \end{equation}です。 六分円の円弧…

を正の整数、を0以上の整数とする。(1) のとき、不等式が成り立つことを示せ。(2) 不等式を満たすをすべて求めよ。(3) 等式を満たすの組をすべて求めよ。 小問(1)の解答例 小問(2)の解答例 小問(3)の解答例 解説 小問(1)の解答例 \begin{eqnarray} f(n) &=& …

サインとコサインはどちらかに合成することができます。 本稿ではサインに合成します。 \begin{equation} a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{a}{b} \right) \end{equation} 証明…