分散は、 分布が平均に対してどの程度ばらついているか の指標です。 表記は、などが使われています。各要素と平均との差、つまり偏差はです。偏差の平均は \begin{equation} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i -m) = m - m = 0 \end{equation}なので、偏差をそ…

ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均は、 \begin{equation} E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \end{equation}です。 値$y_i$を持つとき、同様にの平均は、 \begin{equation} E(Y) = \frac{y_1 + y_…

ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均は、 \begin{equation} E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \end{equation}です。 期待値、平均値 - 数式で独楽するこのとき、 ($a,b$ : 定数)の平均値は、 \begi…

ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均は、 \begin{equation} E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \end{equation}です。 期待値、平均値 - 数式で独楽するある集団の要素がそれぞれ複数の値$(x_i, y_i)…

期待値、平均値は、 確率を伴う値があるとき、期待できる値がどれくらいか 分布を伴う集団を記述する代表値のひとつ です。 確率を伴う場合は期待できる値なので「期待値」、 それが平均としてどれくらいの値を期待できるかなので「平均値」、 要するにどち…

「チェバの定理」 三角形ABCについて、 BC上に点P、AC上に点Q、AB上に点Rを定め、 AP, BQ, CRが1点Oで交わるとき、 \begin{equation} \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1 \end{equation} …

「メネラウスの定理」 三角形ABCについて、 BC上の点P、AC上の点Q、AB上の点Rが一直線上にあるとき、

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

三角形の1辺を他の2辺の比に外分して対角と結ぶと、対角の外角を二等分する 図を交えて記述すると、次のようになります。 三角形ABCにおいて、辺BCを \begin{equation} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \end{equation}を…

が素数となるような整数をすべて求めよ。

三角形の1辺を他の2辺の比に内分して対角と結ぶと、対角を二等分する 図を交えて記述すると、次のようになります。 三角形ABCにおいて、辺BCを \begin{equation} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \end{equation}を満たす…

双曲線の焦点には次のような性質があります。 双曲線状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点から発したように見える。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 双曲線上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにお…

双曲線上の点から焦点までの距離は、離心率を用いると簡潔な形で書くことができます。双曲線の方程式 \begin{equation} \frac{x^2}{d^2} - \frac{y^2}{f^2 - d^2} =1 \tag{1} \end{equation}において、 $f$ : 中心から焦点までの距離 $2f$ : 2焦点間の距離 $…

関数は次の条件①、②を満たしている。

関数は次の条件①、②を満たしている。

関数は次の条件①、②を満たしている。

関数は次の条件①、②を満たしている。① は微分可能では連続、かつ② 正の定数があって(1) ②の等式の両辺をについて微分して得られる(の満たす)微分方程式を書け。またの値を求めよ。(2) 正の定数があって次の不等式(イ)、(ロ)を満たしていることを示せ。(イ) (…

楕円の焦点には次のような性質があります。 楕円状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点に達する。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 楕円上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにおける楕円の接線と等し…

楕円上の点から焦点までの距離は、離心率を用いると簡潔な形で書くことができます。楕円の方程式 \begin{equation} \frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2 - f^2} =1 \tag{1} \end{equation}において、 $f$ : 中心から焦点までの距離 $2f$ : 2焦点間の距離 $2d$ …

放物線の焦点には次のような性質があります。 放物線状の鏡がある。 軸に平行に光を入射すると、焦点に達する。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 放物線上の点P、焦点Fおよび点Pから準線に下ろした垂線の足Hについて、線分FP, HPはそれぞれ点P…

行列で表される1次変換をとする。

行列で表される1次変換をとする。

行列で表される1次変換をとする。

行列で表される1次変換をとする。

本稿では、関数の凹凸についてみていきます。 前提 下に凸 上に凸 2階導関数と凹凸 証明の下準備 (i) f''(x) > 0 ⇒下に凸 の証明 (ii) 下に凸 ⇒ f''(x) > 0 の 証明 (iii) f''(x) (iv) 上に凸 ⇒ f''(x) まとめ 前提 関数を2回微分が可能な関数とします。 ま…

双曲線の焦点には次のような性質があります。 双曲線状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点から発したように見える。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 双曲線上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにお…

楕円の焦点には次のような性質があります。 楕円状の鏡がある。 一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点に達する。 幾何学的に言い換えると、次のようになります。 楕円上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにおける楕円の接線と等し…

実数に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \sqrt{\tan a \cdot \tan b} \leqq \tan \left( \frac{a+b}{2} \right) \leqq \frac{1}{2} (\tan a + \tan b) \end{equation}

相加平均、相乗平均、調和平均 - 数式で独楽する で、相加平均(算術平均)、相乗平均(幾何平均)、調和平均について述べました。

相加平均または算術平均 単に「平均」と言うときは、相加平均のことをいいます。算術平均ともいいます。