本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の偏微分について述べます。 ここでは、 3次元円柱座標系の偏微分 - 数式で独楽する とは異なるア…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 円柱座標系による直交座標系の偏微分 極座標…

三角形の1内角と他の2外角の二等分線は1点Iで交わる。 (傍心の存在) 角の二等分線は、角をなす2直線からの距離が等しくなる点の集合です。 見方を変えると、 角の二等分線上では、角に内接する円を描くことができます。冒頭で、 三角形の1内角と他の2外角の…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の速度と加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 円柱座標系における位置ベクトル 円柱…

三角形の外部にあり、1辺と2辺の延長線に接する円を「傍接円」といいます。 傍接円の中心を「傍心」といいます。

三角形の任意の外角の二等分線を引くと、対辺を残りの2辺の比に外分する。 図を交えて記述すると、次のようになります。 三角形ABCの角Aの外角の二等分線を引き、対辺BCとの交点をDとすると、 \begin{equation} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = \frac{\ma…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 単位ベクトルの偏微分 3次元円柱座標…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 単位ベクトル同士の関係 3次元円柱座…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 直交座標系の単位ベクトルとの関係 行…

直角三角形は、角の1つが直角であるために、合同条件は見た目が緩くなります。 合同条件は次の通りです。 直角三角形の合同条件 斜辺と他の1組の辺がそれぞれ相等しい 斜辺と直角でないの1組の角がそれぞれ相等しい それぞれ見ていきましょう。 斜辺と他の1…

三角形の合同条件は次の通りです。 三角形の合同条件 3組の辺がそれぞれ相等しい(三辺相等) 2組の辺とはさまれる角がそれぞれ相等しい(二辺夾角相等) 1組の辺と2組の角がそれぞれ相等しい(一辺二角相等) それぞれ見ていきましょう。 三辺相等 「3組の辺がそ…

\begin{equation} 3p^3 -p^2q -pq^2 +3q^3 = 2013 \end{equation}の自然数解を求めよ。

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray} で表される2次元の極座標系についてまとめます。 極座標 - 数式で独楽する

スカラー$u$のラプラシアンを2次元の極座標系$(r, \theta)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray}のとき、 \begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& \frac{\par…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の回転について述べます。 ここでは、ベクトルの外積のように導きます。 2次元極座標系の回転 - 数式で独楽する ベ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の回転について述べます。 極座標 - 数式で独楽する偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、なおかつベクトルの成…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の発散について述べます。 ここでは、ベクトルの内積のように導きます。 2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する ベ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の発散について述べます。 ベクトルの発散 - 数式で独楽する 極座標 - 数式で独楽する偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$のベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する ベクトル$\boldsymbol{A}$を \begin{eqnarray} \boldsymbol…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 ここでは、 2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する とは異なるアプローチをしていきます…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 極座標 - 数式で独楽する スカラーの勾配 - 数式で独楽する 直交座標系における偏微分と…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の偏微分について述べます。 ここでは、 2次元極座標系の偏微分 - 数式で独楽する とは異なるアプローチで見ていき…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系による直交座標系の偏微分 極座標系による偏微分を直交座標系によ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の速度と加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系における位置ベクトル 極座標系における速度 極座標系におけ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 直交座標系の単位ベクトルとの関係 単位ベクトル同士の…

多角形の外角の和は360°である。 「外角」とは、内角を為す辺を角の反対側に延長してできる、内角と合わせて直線を為す角をいいます。 つまり、 外角＝180°－内角 です。 「内角の補角」ということです。 本稿では、多角形の外角の和を考えます。 必然的に …

半径1の球面上の5点は、正方形を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき、四角錐の体積の最大値を求めよ。

\begin{eqnarray} \exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray} で定義する関数について考えます。指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する では指数関数を級数…

\begin{eqnarray} \exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray} で定義する関数について考えます。指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する では指数関数を級数…

\begin{eqnarray} \exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray} で定義する関数について考えます。指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する では指数関数を級数…