べき乗の微分 指数rが実数でも \begin{equation} (x^r)' = rx^{r-1} \end{equation}

指数関数の微分のうち、 \begin{equation} (a^x)' = (\log a)a^x \end{equation}を、対数微分法を用いて求めてみます。 対数微分法 - 数式で独楽する

対数微分法とは、 対数をとってから微分し、 元の関数を掛けることにより、 元の関数の微分形を求める 手法です。

対数の底の変換 \begin{equation} \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{equation} 対数の底を変換する場合、元の底の対数が分母に現れるというものです。 知っていると便利な関係です。

対数関数の微分 \begin{eqnarray} (\log |x|)' &=& \frac{1}{x} \\ (\log_a |x|)' &=& \frac{1}{(\log a)x} \end{eqnarray} 1番目の式は 対数関数の微分2 - 数式で独楽する で導いたので、本稿では2番目の式を導きます。2番目の式は、対数の底を変換して、次…

対数関数の微分 \begin{equation} (\log |x|)' = \frac{1}{x} \end{equation}

\begin{equation} \begin{array}{r} \\ 2n+1 \ ) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{rrrr} 3n^2 & +3n\ \ & -\ \ 1 & \\ \hline 6n^3 & +9n^2 & +\ \ n & -1 \\ 6n^3 & +3n^2 && \\ \hline & 6n^2 & +\ \ n & \\ & 6n^2 & +3n & \\ \hline && …

対数関数の微分 \begin{equation} (\log |x|)' = \frac{1}{x} \end{equation}

指数関数の微分 \begin{eqnarray} (e^x)' &=& e^x \\ (e^{kx})' &=& k \, e^{kx} \quad (k=定数)\\ (a^x)' &=& (\log a) \, a^x \end{eqnarray}

正弦の2回微分 \begin{equation} (\sin x)'' = -\sin x \end{equation} 余弦の2回微分 \begin{equation} (\cos x)'' = -\cos x \end{equation}

2回微分の表記 2回微分の表記には、次のようなものがあります。 \begin{equation} y'', \quad \ddot{y}, \quad f''(x), \quad \frac{d^2 y}{dx^2}, \quad \frac{d^2}{dx^2}f(x) \end{equation}ダッシュ(')の数やの肩に乗っている数字が、微分の回数を表して…

\begin{equation} y' = -(1+y^2) \end{equation}を満たすの関数を求めよ。

\begin{equation} y' = 1+y^2 \end{equation}を満たすの関数を求めよ。

余接の微分 \begin{equation} (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \end{equation}または \begin{equation} (\cot x)' = -1-\cot^2 x \end{equation}

正接の微分 \begin{equation} (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \end{equation}または \begin{equation} (\tan x)' = 1+\tan^2 x \end{equation}

余弦の微分 \begin{equation} (\cos x)' = -\sin x \end{equation}

正弦の微分 \begin{equation} (\sin x)' = \cos x \end{equation}

べき乗の微分 指数が有理数でも \begin{equation} (x^q)' = qx^{q-1} \end{equation}

平方根の微分 \begin{eqnarray} \left( \sqrt{x} \right) ' &=& \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \left( x^{1/2} \right) ' &=& \frac{1}{2} x^{-1/2} \end{eqnarray} n乗根の微分 \begin{equation} \left( \sqrt[n]{x} \right) ' = \left( x^{1/n} \right) ' = \fra…

逆関数の微分 \begin{equation} x=f(y) \end{equation}のとき、 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \displaystyle \frac{dx}{dy} \ } = \frac{1}{f'(y)} \quad (f(y) \neq 0) \end{equation}

媒介変数表記の微分 \begin{equation} x=f(t), \quad y=g(t) \end{equation}のとき、 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{\ \displaystyle \frac{dy}{dt} \ }{\displaystyle \frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(x)} \quad (f(t) \neq 0) \end{equation}

合成関数の微分 \begin{equation} \{ f(g(x)) \} ' = f'(g(x))g'(x) \end{equation}

\begin{equation} 1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12} \end{equation}

べき乗の逆数または負のべき乗の微分

商の微分 \begin{equation} \left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{ g(x) \} ^2} \end{equation}

逆数の微分 \begin{equation} \left \{ \frac{1}{f(x)} \right \} ' = - \frac{f'(x)}{\{ f(x) \} ^2} \end{equation}

\begin{equation} 1-1+1-1+\cdots = \frac{1}{2} \end{equation} 1と-1を交互に足し上げていくと、1/2になる、というものです。

積の微分 \begin{equation} \{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{equation} 微分の演算にしたがって計算していきます。 \begin{equation} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{equation} 同様に、 \begin{eqnarray} \{ f(x)g(x…

\begin{equation} \left \{ cf(x) \right \}' = cf'(x) \end{equation}