複素数に対してその共役複素数をで表す。を実数ではない複素数とする。複素平面内の円がを通るならば、はも通ることを示せ。

複素数に対してその共役複素数をで表す。を実数ではない複素数とする。複素平面内の円がを通るならば、はも通ることを示せ。

△ABCを点Xが分割しています。△XBC, △XCA, △XABの面積をそれぞれとすると、点Xは、次のように表すことができます。

△ABCを点Xが分割しています。点Xの位置ベクトルがA, B, Cの位置ベクトルを用いて、

△ABCと点Xが \begin{equation} p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0} \end{equation}を満たすとき、

△ABCと点Pがあり、を満たしている。以下の問に答えなさい。

二項係数の関係 \begin{equation} {}_n C_r = {}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation} を用いると、二項係数を次々と求めることができます。

\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1} \end{equation}

\begin{equation} \sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3+\cdots = 0 \end{equation}

二項係数の性質をまとめます。

枚の100円玉と枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。

\begin{equation} {}_n C_k = {}_n C_{n -k} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n \end{equation}

2次元ベクトルが

曲線のの部分をとする。上の点Pにおける接線と軸との交点をQとし、Pにおけるの法線と軸との交点をRとする。Pが上を動くとき、の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をGとし、線分OGをに内分する点をPとする。また、直線APと面OBCとの交点をA'、直線BPと面OCAとの交点をB'、直線CPと面OABとの交点をC'とする。このとき三角形A'B'C'は三角形ABCと相似であることを示し、相似比を求めよ。

四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をGとし、線分OGをに内分する点をPとする。また、直線APと面OBCとの交点をA'、直線BPと面OCAとの交点をB'、直線CPと面OABとの交点をC'とする。このとき三角形A'B'C'は三角形ABCと相似であることを示し、相似比を求めよ。

を満たす複素数をすべて求めよ。