3倍角の公式は、など、3倍の大きさの三角比が元の角の三角比で表されるというものです。
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \\
\tan 3\theta &=& \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
3倍角の公式は、
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1 -\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
において
\begin{equation}
\alpha = \theta, \ \beta = 2\theta
\end{equation}とし、さらに
倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& 2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
&=& 2\cos^2 \theta -1 \\
&=& 1 - 2\sin^2 \theta \\
\tan 2\theta &=& \frac{2\tan \theta}{1 -\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
を用いて導くことができます。
では、いきましょう。
\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& \sin \theta \cos 2\theta + \cos \theta \sin 2\theta \\
&=& \sin \theta (1 - 2\sin^2 \theta) + 2\sin \theta \cos^2 \theta \\
&=& \sin \theta (1 - 2\sin^2 \theta) + 2\sin \theta (1-\sin^2 \theta) \\
&=& 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta
\end{eqnarray}
途中、
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1
\end{equation}を用いています。
同様に、
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta &=& \cos \theta \cos 2\theta - \sin \theta \sin 2\theta \\
&=& \cos \theta (2\cos^2 - 1) - 2\sin^2 \theta \cos \theta \\
&=& \cos \theta (2\cos^2 - 1) - 2(1 - \cos^2 \theta) \cos \theta \\
&=& 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta
\end{eqnarray}
と求めることができます。
正接についても、
\begin{eqnarray}
\tan 3\theta &=& \frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} \\
&=& \frac{\tan \theta + \displaystyle \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}}{1 - \tan \cdot \displaystyle \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2}} \\
&=& \frac{\tan \theta - \tan^2 \theta + 2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta - 2\tan \theta} \\
&=& \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
と求めることができます。
落ち着いて計算すれば、導くことができます。
