代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、36ºと54ºの三角比を求めてみます。
三角比36ºと54º - 数式で独楽する
では、二等辺三角形を用いて三角比を求めました。
本稿では、別の求め方を見てみます。
36°の三角比
余弦
倍角の公式と三倍角の公式を用います。
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=& 2\cos^2 \theta -1 \tag{1} \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta -3\cos \theta \tag{2}
\end{eqnarray}
倍角の公式 - 数式で独楽する
3倍角の公式 - 数式で独楽する
また、補角の三角比の関係も用います。
\begin{equation}
\cos (180^\circ -\phi) = -\cos \phi \tag{3}
\end{equation}
補角の三角比 - 数式で独楽する
ここで
\begin{eqnarray}
\theta &=& 36^\circ \\
\phi &=& 72^\circ
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\cos 108^\circ = -\cos 72^\circ
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\cos (3 \times 36^\circ) = -\cos (2 \times 36^\circ) \tag{4}
\end{equation}と、式(1)～(3)がぴったり嵌まります。
\begin{equation}
x = \cos 36^\circ
\end{equation}と置きます。式(4)は、式(1), (2)を踏まえて
\begin{equation}
4x^3 -3x = -(2x^2 -1)
\end{equation}となります。整理します。
\begin{eqnarray}
4x^3 +2x^2 -3x -1 &=& 0 \\
(x +1)(4x^2 -2x -1) &=& 0
\end{eqnarray}より
\begin{equation}
x = -1, \ \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{equation}となりますが、なので、
\begin{equation}
x = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} +1}{4}
\end{equation}を得ます。
正弦
大人しく、
\begin{equation}
\cos^2 \theta +\sin^2 \theta = 1
\end{equation}を用います。
三角関数・2乗の和 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin 36^\circ &=& \sqrt{1 -\cos^2 36^\circ} \\
&=& \sqrt{1 -\frac{6 +2\sqrt{5}}{16}} \\
&=& \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{eqnarray}となります。
正接
正接も定義通り計算します。
\begin{eqnarray}
\tan 36^\circ &=& \frac{\sin 36^\circ}{\cos 36^\circ} \\
&=& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5} \ }}{\sqrt{5}+1} \\
&=& \frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} \\
&=& \frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{80-32\sqrt{5} \ }}{4} \\
&=& \sqrt{5-2\sqrt{5} \ }
\end{eqnarray}
54°の三角比
余角の三角比より求めます。
余角の三角比 - 数式で独楽する
正弦
\begin{equation}
\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} +1}{4}
\end{equation}
余弦
\begin{equation}
\cos 54^\circ = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{equation}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 54^\circ &=& \frac{1}{\tan 36^\circ} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5} \ }} \\
&=& \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5} \ }}{\sqrt{5}} \\
&=& \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5} \ }}{5}
\end{eqnarray}
