三角関数の加法定理は、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
で表されます。
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1 -\tan\alpha\tan\beta}
\end{equation}
と得られます。
正接の加法定理の証明はこちら。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する
ここで、を
に置き換えると、
\begin{eqnarray}
\sin (-\beta) &=&-&\sin \beta \\
\cos (-\beta) &=&&\cos \beta \\
\tan (-\beta) &=&-&\tan \beta
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha - \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha - \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
\tan(\alpha - \beta) &=& \frac{\tan\alpha -\tan\beta}{1 +\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
となります。
以上をまとめると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha \pm \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha \pm \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\
\tan(\alpha \pm \beta) &=& \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
なお、±などの複号は同順です。複号の上側を読む場合、同じ式ではずっと上側を読んでください。
証明方法はいくつかあります。こちらをどうぞ。
加法定理・幾何学的な証明 - 数式で独楽する
加法定理・回転行列による証明 - 数式で独楽する
加法定理・オイラーの公式による証明 - 数式で独楽する
