半角の公式は、など半分の大きさの三角比が元の角の三角比で表されるというものです。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 - \cos \theta}{2} \\
\cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 + \cos \theta}{2} \\
\tan^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
\end{eqnarray}
半角の公式は、
倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& 2 \sin \theta \cos \theta \tag{1} \\
\cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \tag{2} \\
&=& 2\cos^2 \theta -1 \tag{2-1} \\
&=& 1 - 2\sin^2 \theta \tag{2-2} \\
\tan 2\theta &=& \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \tag{3}
\end{eqnarray}
の式(2-1), (2-2)において、を
に置き換えて、式を変形すると得ることができます。
\begin{equation}
\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} -1
\end{equation}より、
\begin{equation}
\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}
\end{equation}が得られます。
\begin{equation}\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \frac{\theta}{2}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}
\end{equation}が得られます。
さらに、
\begin{eqnarray}
\tan^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{\displaystyle \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2}} \\
&=& \frac{\ \displaystyle \frac{1 - \cos \theta}{2} \ }{\displaystyle \frac{1 + \cos \theta}{2}} \\
&=& \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
\end{eqnarray}
が得られます。
