次の等式が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
2 \sin 40^\circ +3 \sin 80^\circ +\cdots +9 \sin 320^\circ = -\frac{9}{2 \tan 20^\circ}
\end{equation}
解答例
\begin{equation}
\theta = \frac{2}{9} \, \pi \ (= 40^\circ)
\end{equation}とします。
\begin{equation}
z = e^{\theta i}
\end{equation}はで
\begin{equation}
z^9 = 1
\end{equation}を満たすので、小問(1)の最終形に
\begin{eqnarray}
z &=& e^{\theta i} \\
n &=& 9
\end{eqnarray}を入れた式、すなわち
\begin{eqnarray}
f(e^{\theta i}) &=& 1 +2e^{\theta i} +3e^{2\theta i} +\cdots +9e^{8\theta i} \\
&=& \frac{9}{e^{\theta i} -1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
2003年後期 京大 文系 第5問(1) - 数式で独楽する
ここで
\begin{equation}
e^{i\phi} = \cos \phi +i \sin \phi \quad (\phi \in \mathbb{R})
\end{equation}を用いると、
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
&& (1 +2\cos \theta +3\cos 2\theta +\cdots +9\cos 8\theta) \\
&& \quad i(2\sin \theta +3\sin 2\theta +\cdots +9\sin 8\theta) \\
&& = \frac{9(e^{-\theta i} -1)}{(e^{\theta i} -1)(e^{-\theta i} -1)} \\
&& = \frac{9(\cos \theta -1 -i \sin \theta)}{2(1 -\cos \theta)}
\end{eqnarray}となります。
実部と虚部がそれぞれ等しいので、
\begin{eqnarray}
2\sin \theta +3\sin 2\theta +\cdots +9\sin 8\theta
&=& -\frac{9\sin \theta}{2(1 -\cos \theta)} \\
&=& -\frac{9}{2} \cfrac{2\sin \cfrac{\theta}{2} \cos \cfrac{\theta}{2}}{2\sin^2 \cfrac{\theta}{2}} \\
&=& -\frac{9}{2} \cfrac{1}{\tan \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}を得ます。
倍角の公式 - 数式で独楽する
を代入します。
\begin{equation}
2 \sin 40^\circ +3 \sin 80^\circ +\cdots +9 \sin 320^\circ = -\frac{9}{2 \tan 20^\circ}
\end{equation}を示すことができました。
