サインとコサインはどちらかに合成することができます。
本稿ではコサインに合成します。
\begin{equation}
a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{b}{a} \right)
\end{equation}
証明は簡単です。
まず、
\begin{equation}
a \cos \theta + b \sin \theta = A \cos (\theta - \alpha) \tag{1}
\end{equation}とおきます。
式(1)は、のとき、
\begin{eqnarray}
a &=& A \cos (-\alpha) \\
&=& A \cos \alpha \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。
同様に、のとき、
\begin{eqnarray}
b &=& A \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \\
&=& A \sin \alpha \tag{3}
\end{eqnarray}
を得ます。
式(2), (3)を平方(2乗)して辺々相加えると、
\begin{equation}
a^2 + b^2 = A^2
\end{equation}となります。これより、
\begin{equation}
A = \sqrt{a^2 + b^2} \tag{4}
\end{equation}が得られます。
式(3)を式(2)で割るとを消去できて、
\begin{equation}
\tan \alpha = \frac{b}{a} \tag{5}
\end{equation}を得ることができます。
式(4), (5)を式(1)に代入して、冒頭の式が得られます。
\begin{equation}
a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{b}{a} \right)
\end{equation}
スマートな方法があります。
こちらの方が本質に迫れます。
三角関数の合成 その3 - 数式で独楽する
