倍角の公式は、など2倍の大きさの三角比が元の角の三角比で表されるというものです。
\begin{eqnarray}
\sin 2\theta &=& 2 \sin \theta \cos \theta \tag{1} \\
\cos 2\theta &=& \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \tag{2} \\
&=& 2\cos^2 \theta -1 \tag{2-1} \\
&=& 1 - 2\sin^2 \theta \tag{2-2} \\
\tan 2\theta &=& \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \tag{3}
\end{eqnarray}
倍角の公式は、
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}
において、
\begin{equation}
\alpha=\beta=\theta
\end{equation}とすると、式(1), (2), (3)を得ることができます。
また、式(2)で
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
\end{equation}を用いると、式(2-1), (2-2)を得ることができます。
式(2-1), (2-2)より、
\begin{eqnarray}
\cos^2 \theta &=& \frac{1+\cos 2\theta}{2} \\
\sin^2 \theta &=& \frac{1-\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}
を得ることができます。
