\begin{equation}
\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\nabla \times \boldsymbol{v} = 2\boldsymbol{\omega}
\end{equation}
ここでは一定の角速度で、
は回転運動の速度です。
角速度 - 数式で独楽する
剛体の回転の角速度 - 数式で独楽する
このとき、速度の回転は
\begin{eqnarray}
\nabla \times \boldsymbol{v} &=& \nabla \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\
&=& (\boldsymbol{r} \cdot \nabla) \boldsymbol{\omega} -\boldsymbol{r} (\nabla \cdot \boldsymbol{\omega}) -(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \boldsymbol{r} +\boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \boldsymbol{r}) \\
&=& \boldsymbol{0} -\boldsymbol{0} -\boldsymbol{\omega} +3\boldsymbol{\omega} \\
&=& 2\boldsymbol{\omega}
\end{eqnarray}となります。
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積の回転 - 数式で独楽する
なお、は定ベクトルなので
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{\omega} &=& 0 \\
(\boldsymbol{r} \cdot \nabla) \boldsymbol{\omega} &=& \left( x \, \frac{\partial}{\partial x} +y \, \frac{\partial}{\partial y} +z \, \frac{\partial}{\partial z} \right) \, \boldsymbol{\omega} \\
&=& \boldsymbol{0}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3
\end{equation}です。
位置ベクトルの発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \boldsymbol{r} &=& \left \{ (\omega_x \, \boldsymbol{i} +\omega_y \, \boldsymbol{j} +\omega_z \, \boldsymbol{k}) \cdot \left( \boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x} +\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y} +\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) \right \} (x\, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k}) \\
&=& \left( \omega_x \, \frac{\partial}{\partial x} +\omega_y \, \frac{\partial}{\partial y} +\omega_z \, \frac{\partial}{\partial z} \right) (x\, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k}) \\
&=& \omega_x \, \boldsymbol{i} +\omega_y \, \boldsymbol{l} +\omega_z \, \boldsymbol{k} \\
&=& \boldsymbol{\omega}
\end{eqnarray}です。
ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=& x\, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{\omega} &=& \omega_x \, \boldsymbol{i} +\omega_y \, \boldsymbol{j} +\omega_z \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}としています。
は、それぞれ直交座標系の
軸方向の単位ベクトルです。
