\begin{equation}
\boldsymbol{r} = (x,y,z)
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{r} &=& \frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} \\
&=& 3
\end{eqnarray}です。
2次元なら2、4次元なら4になるのですね。
3次元の極座標系(球座標系)で考えると、発散は
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \, A_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}です。
3次元球座標系の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
A_r &=& r \\
A_\theta &=& 0 \\
A_\phi &=& 0
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{r} &=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^3}{\partial r} \\
&=& \frac{1}{r^2} \, (3r^2) \\
&=& 3
\end{eqnarray}となります。
