三重積分

平面の領域(体積をとします)で定義された1価連続の関数の、領域における三重積分は、次のように考えることができます。

定積分や二重積分の考え方を、3次元に拡張して考えます。
定積分 - 数式で独楽する
二重積分 - 数式で独楽する

領域を、体積の個の直方体の領域に分割します。
点を領域内の点とします。
そして次の量を考えます。
\begin{equation}
\sum_{l = 1}^n f(\xi_l, \eta_l, \zeta_l) \Delta A_l = \sum_i \sum_j \sum_k f(\xi_i, \eta_j, \zeta_k) \, \Delta x_i \, \Delta y_j \, \Delta z_k\tag{1}
\end{equation}長方形の領域における関数の値に領域の体積を乗じ、全領域に亘って和をとったものです。
なお、番号を与えた領域の体積は
\begin{equation}
\Delta V_l = \Delta x_l \, \Delta y_l \, \Delta_l
\end{equation}ですが、領域を格子状に区切って軸方向に番号、軸方向に番号、軸方向に番号を付与していけば、式(1)の右辺の形となります。

そして分割を限りなく細かくし、つまりとし、各を限りなく0に近付けたものを、
\begin{equation}
\iiint_R f(x,y,z) \, dV = \iiint_R f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \tag{2}
\end{equation}と書きます。
これを関数の領域における三重積分といいます。
式(1)の左辺と式(2)の左辺、式(1)の右辺と式(2)の右辺がそれぞれ対応しています。