ベクトルの外積

3次元のベクトルを
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{array} \right)
\end{equation}とするとき、ベクトルの外積は

\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c}
a_2 b_3 - a_3 b_2 \\
a_3 b_1 - a_1 b_3 \\
a_1 b_2 - a_2 b_1
\end{array} \right)
\end{equation}と定義します。

基底ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \ \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \
\boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}を用いて
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\boldsymbol{e}_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array} \right| +
\boldsymbol{e}_2 \left| \begin{array}{cc} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{array} \right| +
\boldsymbol{e}_3 \left| \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right|
\end{equation}と表すことができます。

また、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left| \begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array}\right|
\end{equation}とも表すことができます。

エディントンのイプシロン
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
とアインシュタインの縮約記法

を用いると、の第成分は、
\begin{equation}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k
\end{equation}と表現されます。

ベクトルの大きさと外積の関係

ベクトルのなす角をとします。
両ベクトルを回転させて、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{l} a_1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}となるようにします。

このとき、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ a_1 b_2 \end{array} \right)
\end{equation}となります。
一方、
\begin{eqnarray}
a_1 &=& |\boldsymbol{a}| \\
b_2 &=& |\boldsymbol{b}| \sin \theta
\end{eqnarray}なので、の大きさは、
\begin{equation}
\left| \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \right| =
|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \theta
\end{equation}となります。ベクトルが作る平行四辺形の面積となります。
また、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \perp \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \perp \boldsymbol{b}
\end{eqnarray}です。

なお、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}の場合、\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}
\end{equation}です。