ベクトルに対し、
\begin{equation}
\nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} \, (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \, (\nabla \cdot \boldsymbol{B})
\end{equation}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
内線と外積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用いると、の
成分は、
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i &=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, (\boldsymbol {A} \times \boldsymbol{B})_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, (\epsilon_{klm} \, A_l \, B_m) \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \epsilon_{klm} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, (A_l \, B_m) \\
\end{eqnarray}となります。
ここで、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{klm} = \delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}
\end{equation}を用います。
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
式中のデルタは、クロネッカーのデルタです。
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
すると、
\begin{equation}
\Bigl( \nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i = (\delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}) \left( B_m \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_l + A_l \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, B_m \right)
\end{equation}となります。
ついでに、積の微分の部分を書き下しています。
さらに、クロネッカーのデルタの値が1となる組合せを拾っていくと、
\begin{equation}
\Bigl( \nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i = B_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_i + A_i \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, B_j - B_i \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_j - A_j \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, B_i
\end{equation}となります。
内積と発散の形を考慮すると、
\begin{equation}
\Bigl( \nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \Bigr)_i = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \, A_i - B_i \, (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \, B_i + A_i \, (\nabla \cdot \boldsymbol{B})
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
\nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} \, (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \, (\nabla \cdot \boldsymbol{B})
\end{equation}を得ます。
微分と外積が入り乱れており、積の微分よりも複雑な形になっています。
積の微分 - 数式で独楽する
