本稿では、 が正の整数ならば、 \begin{equation} \int_{-L}^L \sin \frac{m \pi x}{L} \, \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx = \left \{ \begin{array}{ll} L & (m=n) \\ 0 & (m \ne n) \end{array} \right. \\ \end{equation} を確認していきます。