空間内の平面上にある円および円板を考える。を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐をとする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。空間内の平面を考える。すなわち、は平面上の直線と線分ABをともに含む平面である。の側面との交わりとしてできる曲線をとする…

空間内の平面上にある円および円板を考える。を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐をとする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。空間内の平面を考える。すなわち、は平面上の直線と線分ABをともに含む平面である。の側面との交わりとしてできる曲線をとする…

を正の実数とし、とする。Oを原点とする平面上の放物線の頂点をAとする。直線OAとの交点のうちAと異なるものをPとし、Oからへ引いた接線の接点をQとする。ただし、とする。

逆余弦関数の不定積分 \begin{equation} \int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x -\sqrt{1 -x^2} +C \end{equation}は積分定数です。

逆正弦関数の不定積分 \begin{equation} \int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x +\sqrt{1 -x^2} +C \end{equation}は積分定数です。

逆正接関数の不定積分 \begin{equation} \int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x -\frac{1}{2} \, \log (1 +x^2) +C \end{equation}は積分定数です。

逆三角関数の不定積分をまとめておきます。は積分定数です。

を実数とする。の2次方程式は、の範囲にいくつの解をもつか。

を実数とする。の2次方程式は、の範囲にいくつの解をもつか。

平面上の単位円と、条件をみたす実数に対し、点Rを考える。上の点Pにおけるの接線と、Rを通りこの接線と直交する直線との交点をQとする。点Pが上を一周するときに、Qが描く曲線をとする。上の点の座標の最小値がより小さいことを示し、で囲まれる図形の面積…

Oを原点とする座標空間において、不等式の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、を満たす部分をとする。

Oを原点とする座標空間において、不等式の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、を満たす部分をとする。

(1) 正の整数に対し、 \begin{equation} A_k = \int_\sqrt{k \pi}^\sqrt{(k +1) \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx \end{equation} とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq …

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\pi (x^2 +1)} \tag{1} \end{equation}なる確率密度関数で記述される分布を標準コーシー分布といいます。

定積分の値を求めよ。

中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。 中心力の場においては、角運動量が保存されます。

中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。 中心力の場においては、角運動量が保存されます。

次の極限値を求めよ。 \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} |\sin nx| \, dx \end{equation}

平面内ので定められる領域と、中心がPで原点Oを通る円を考える。がに含まれる条件のもとで、Pが動きうる範囲を図示し、その面積を求めよ。

「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。

「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。

質点の円運動において、

閉区間で定義された関数が、を満たしている。を求めよ。 補足 はとの積の意味である。

\begin{equation} f(-x) = f(x) \end{equation}を満たす関数を偶関数、 \begin{equation} f(-x) = -f(x) \end{equation}を満たす関数を奇関数といいます。

を実数とする。とのグラフが相異なる3つの交点を持つという。このときが成立することを示し、さらにこれらの交点の座標のすべては開区間に含まれることを示せ。

\begin{equation} \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0) \end{equation}

\begin{equation} \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0) \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}