2024年京大文系第4問 - 数式で独楽する

ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてよい。
\begin{eqnarray}
0.3010 &<& \log_{10} 2 &<& 0.3011 \\
0.4771 &<& \log_{10} 3 &<& 0.4772
\end{eqnarray}

解答例
解説

解答例

該当する数を $N$ 、桁数を $n$ とすると、
\begin{eqnarray}
8^{n -1} & \leqq & N &<& 8^n \\
9^{n -1} & \leqq & N &<& 9^n \\
10^{n -1} & \leqq & N &<& 10^n
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、
\begin{equation}
10^{n -1} \leqq N < 8^n
\end{equation}と絞り込めます。
常用対数をとり、
\begin{equation}
n -1 \leqq \log_{10} N < 3n \log_{10} 2
\end{equation}つまり
\begin{equation}
n -1 < 3n \log_{10} 2
\end{equation}を得ます。

変形すると
\begin{equation}
\frac{n -1}{3n} < \log_{10} 2 < 0.3011
\end{equation}となります。
続けます。
\begin{eqnarray}
n -1 &<& 0.9033n \\
0.0967n &<& 1 \\
n &<& 10.3\cdots
\end{eqnarray}
したがって、 $n$ の最大値は10となります。

このとき、
\begin{equation}
10^9 \leqq N < 8^{10}
\end{equation}なので、求める $N$ の最大値は
\begin{equation}
N_\mbox{max} = 8^{10} -1 \quad (=1073741823)
\end{equation}となります。