2024年東北大理系第6問その1

$xyz$ 空間内の $xy$ 平面上にある円 $C: \ x^2 +y^2 = 1$ および円板 $D : \ x^2 +y^2 \leqq 1$ を考える。 $D$ を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐を $K$ とする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。 $xyz$ 空間内の平面 $H : \ z = x$ を考える。すなわち、 $H$ は $xz$ 平面上の直線 $z = x$ と線分ABをともに含む平面である。 $K$ の側面と $H$ の交わりとしてできる曲線を $E$ とする。 $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 $\theta$ に対し、円 $C$ 上の点Q $(\cos \theta, \ \sin \theta, \ 0)$ をとり、線分PQと $E$ の交点をRとする。
(1) 線分PRの長さを $r(\theta)$ とおく。 $r(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ。
(2) 円錐 $K$ の側面のうち、曲線 $E$ の点Aから点Rまでを含む部分、線分PA、および線分PRにより囲まれた部分の面積を $S(\theta)$ とおく。 $\theta$ と実数 $h$ が条件 $0 \leqq \theta < \theta +h \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
\frac{h \{ r(\theta) \}^2}{2\sqrt{2}} \leqq S(\theta +h) -S(\theta) \leqq \frac{h \{ r(\theta +h) \}^2}{2\sqrt{2}}
\end{equation}
(3) 円錐 $K$ の側面のうち、円 $C$ の $x \geqq 0$ の部分と曲線 $E$ により囲まれた部分の面積を $T$ とおく。 $T$ を求めよ。必要であれば $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = u$ とおく置換積分を用いてもよい。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

円錐 $K$ の側面は
\begin{equation}
x^2 +y^2 = (1 -z^2) \quad (0 \leqq z \leqq 1) \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
円錐 $K$ と平面 $z = x$ との交わり $E$ 上の点R $(x,y,z)$ は、 $0 < k \leqq 1$ を用いて
\begin{equation}
(x,y,z) = (k\cos \theta, \ k\cos \theta, \ k\cos \theta)
\end{equation}と表すことができます。

これを式(1)に代入し、変形いていきます。
\begin{eqnarray}
k^2 \cos^2 \theta +k^2 \sin^2 \theta &=& (1 -k \cos \theta)^2 \\
k^2 &=& (1 -k \cos \theta)^2
\end{eqnarray} $0 < k \leqq 1, \ 1 -k \cos \theta > 0$ なので
\begin{equation}
k = 1 -k\cos \theta \tag{2}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
k = \frac{1}{1 +\cos \theta} \tag{3}
\end{equation}を得ます。

式(2), (3)より、
\begin{eqnarray}
\{ r(\theta) \}^2 &=& k^2 \cos^2 \theta +k^2 \sin^2 \theta + (1 -k \cos \theta)^2 \\
&=& k^2 +(1 -k \cos \theta)^2 \\
&=& 2k^2 \\
&=& \frac{2}{(1 +\cos \theta)^2}
\end{eqnarray}となります。
$r(\theta) > 0$ なので
\begin{equation}
r(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{1 +\cos \theta}
\end{equation}を得ます。

小問(2)の解答例

円錐 $K$ の側面を展開すると、半径 $\sqrt{2}$ 、弧長 $2\pi$ の扇形となります。
点Qが円 $C$ 上を $h$ だけ動くとき、展開図上では角度 $\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2}}$ だけ動きます。
また、 $\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において $r(\theta)$ は単調増加なので、 $\displaystyle 0 \leqq \theta < \theta +h \leqq \frac{\pi}{2}$ において
\begin{equation}
r(\theta) < r(\theta +h)
\end{equation}です。

したがって、 $S(\theta +h) -S(\theta)$ の表す面積は、

半径 $r(\theta)$ 、中心角 $\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2}}$ の扇形の面積以上、
半径 $r(\theta +h)$ 、中心角 $\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2}}$ の扇形の面積以下

となります。

よって、
\begin{equation}
\frac{h \{ r(\theta) \}^2}{2\sqrt{2}} \leqq S(\theta +h) -S(\theta) \leqq \frac{h \{ r(\theta +h) \}^2}{2\sqrt{2}}
\end{equation}を得ます。