2024年東北大理系第6問その2

$xyz$ 空間内の $xy$ 平面上にある円 $C: \ x^2 +y^2 = 1$ および円板 $D : \ x^2 +y^2 \leqq 1$ を考える。 $D$ を底面とし点P(0, 0, 1)を頂点とする円錐を $K$ とする。A(0, -1, 0), B(0, 1, 0)とする。 $xyz$ 空間内の平面 $H : \ z = x$ を考える。すなわち、 $H$ は $xz$ 平面上の直線 $z = x$ と線分ABをともに含む平面である。 $K$ の側面と $H$ の交わりとしてできる曲線を $E$ とする。 $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 $\theta$ に対し、円 $C$ 上の点Q $(\cos \theta, \ \sin \theta, \ 0)$ をとり、線分PQと $E$ の交点をRとする。
(1) 線分PRの長さを $r(\theta)$ とおく。 $r(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ。
(2) 円錐 $K$ の側面のうち、曲線 $E$ の点Aから点Rまでを含む部分、線分PA、および線分PRにより囲まれた部分の面積を $S(\theta)$ とおく。 $\theta$ と実数 $h$ が条件 $0 \leqq \theta < \theta +h \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
\frac{h \{ r(\theta) \}^2}{2\sqrt{2}} \leqq S(\theta +h) -S(\theta) \leqq \frac{h \{ r(\theta +h) \}^2}{2\sqrt{2}}
\end{equation}
(3) 円錐 $K$ の側面のうち、円 $C$ の $x \geqq 0$ の部分と曲線 $E$ により囲まれた部分の面積を $T$ とおく。 $T$ を求めよ。必要であれば $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = u$ とおく置換積分を用いてもよい。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

小問(2)の解答例

2024年東北大理系第6問その1 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

小問(2)の不等式の各辺を $h$ で割り、 $h \to 0$ とすると、
\begin{eqnarray}
S'(\theta) &=& \frac{\{ r(\theta) \}^2}{2\sqrt{2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2} (1 +\cos \theta)^2}
\end{eqnarray}を得ます。
関数の極限はさみうちの原理 - 数式で独楽する
 微分について - 数式で独楽する

したがって、円錐 $K$ の側面のうち、線分PA, PBおよび曲線 $E$ に囲まれた部分の面積は、
\begin{eqnarray}
S \left( \frac{\pi}{2} \right) &=& 2\int_0^{\pi/2} S'(\theta) \, d\theta \\
&=& \sqrt{2} \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1 +\cos \theta)^2}
\end{eqnarray}となります。
求める面積 $T$ は、円錐 $K$ の側面の面積の半分よりこの部分の面積を除いたものとなります。

さて、
\begin{equation}
\tan \frac{\theta}{2} = u
\end{equation}とおくと、
\begin{equation}
\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 -\cos \theta}{1 +\cos \theta} = u^2
\end{equation}より
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{1 -u^2}{1 +u^2} \\
1 +\cos \theta &=& \frac{2}{1 +u^2} \\
\frac{1}{(1 +\cos \theta)^2} &=& \frac{(1 +u^2)^2}{4} \\
\end{eqnarray}を得ます。
また、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left( 1 +\tan^2 \frac{\theta}{2} \right) d\theta = du
\end{equation}より
\begin{equation}
d\theta = \frac{2du}{1 +u^2}
\end{equation}を得ます。
さらに、積分区間の対応は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
\theta & 0 & \to & \pi/2 \\ \hline
u & 0 & \to & 1 \\ \hline
\end{array}
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
 半角の公式 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{eqnarray}
S\left( \frac{\pi}{2} \right) &=& \sqrt{2} \int_0^1 \frac{1}{2} (1 +u^2) \, du \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ u +\frac{1}{3} \, u^3 \right]_0^1 \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{3} \\
&=& \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{eqnarray}となります。

一方、円錐 $K$ の側面の $x \geqq 0$ の部分を展開したものは、半径 $\sqrt{2}$ 、弧長 $\pi$ 、中心角 $\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ の扇形なので、その面積は
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right)^2 \frac{\pi}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \, \pi
\end{equation}となります。

よって、求める面積 $T$ は、
\begin{eqnarray}
T &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \, \pi -S \left( \frac{\pi}{2} \right) \\
&=& \frac{\sqrt{2}}{2} \, \pi -\frac{2\sqrt{2}}{3} \\
&=& \left( \frac{\pi}{2} -\frac{2}{3} \right) \sqrt{2}
\end{eqnarray}です。