四面体OABCが次を満たすとする。
- OA = OB = OB = 1
- ∠COA = ∠COB = ∠ACB
- ∠AOB = 90°
このとき、四面体OABCの体積を求めよ。
解答例
与えられた条件により、4点の座標をO(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C()とします。
としても一般性を失いません。
なお、これも条件により
\begin{equation}
x^2 +y^2 +z^2 = 1 \tag{1}
\end{equation}を満たします。
また、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &=& (x -1, \ y, \ z) \\
\overrightarrow{\mathrm{BC}} &=& (x, \ y -1, \ z)
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
\cos \angle \mathrm{COA} &=& \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\mathrm{OA \cdot OC}} &=& x \\
\cos \angle \mathrm{COB} &=& \frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\mathrm{OB \cdot OC}} &=& y
\end{eqnarray}です。
与えられた条件により、
\begin{equation}
x = y
\end{equation}を得ます。
式(1)は
\begin{equation}
2x^2 +z^2 = 1 \tag{2}
\end{equation}となります。
式(2)も踏まえて
\begin{eqnarray}
\cos \angle \mathrm{ACB} &=& \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\mathrm{AC \cdot BC}} \\
&=& \frac{2x(x -1) +z^2}{(x -1)^2 +x^2 +z^2} \\
&=& \frac{1 -2x}{2 -2x}
\end{eqnarray}となり、与えられた条件により
\begin{equation}
\frac{1 -2x}{2 -2x} = x \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。
式(3)を解いていきます。
\begin{eqnarray}
1 -2x &=& 2x -2x^2 \\
2x^2 -4x +1 &=& 0 \\
x &=& \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
x = \frac{2 -\sqrt{2}}{2}
\end{equation}です。
したがって、式(2)により
\begin{eqnarray}
z^2 &=& 1 -2x^2 \\
&=& 1 -2\cdot \frac{6 -4\sqrt{2}}{4} \\
&=& 1 -(3 -2\sqrt{2}) \\
&=& 2\sqrt{2} -2
\end{eqnarray}となります。
なので、
\begin{equation}
z.= \sqrt{2\sqrt{2} -2}
\end{equation}を得ます。
以上より、求める体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{OAB} \cdot z \\
&=& \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \right) z \\
&=& \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{6}
\end{eqnarray}となります。
解説
条件の1つ目と3つ目を見て、四面体を座標空間に置く発想になります。
あとは他の条件を数式に落とし込むことになります。
