2024年東北大理系第5問 - 数式で独楽する

$x \geqq 2$ を満たす実数 $x$ に対し、
\begin{equation}
f(x) = \frac{\log (2x -1)}{x}
\end{equation}とおく。必要ならば $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0$ であること、および、自然対数の底 $e$ が $2 < e < 3$ であることを証明なしで用いてよい。
(1) $\displaystyle f'(x) = \frac{g(x)}{x^2 (2x -3)}$ とおくとき、関数 $g(x) \ (x \geqq 2)$ を求めよ。
(2) (1)で求めた関数 $g(x)$ に対し、 $g(\alpha) = 0$ を満たす2以上の実数 $\alpha$ がただ1つ存在することを示せ。
(3) 関数 $f(x) \ (x \geqq 2)$ の増減と極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$ を調べ、 $y = f(x)$ のグラフの概形を $xy$ 平面上に描け。ただし(2)の $\alpha$ を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてもよい。
(4) $2 \leqq m < n$ を満たす整数 $m,n$ の組 $(m,n)$ に対して等式
\begin{equation}
(*) \quad (2m -3)^n = (2n -3)^m
\end{equation}が成り立つとする。このような組 $(m,n)$ をすべて求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(4)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
f'(x)&=& \frac{2}{2x -3} \cdot \frac{1}{x} +\log (2x -3) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\
&=& \frac{2x -(2x -3) \log (2x -3)}{x^2 (2x -3)}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
g(x) = 2x -(2x -3) \log (2x -3)
\end{equation}を得ます。
積の微分 - 数式で独楽する
 対数関数の微分 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

$x \geqq 2$ であることを踏まえると、小問(1)の結果により、
\begin{eqnarray}
g'(x) &=& 2 -2\log (2x -3) -2 \\
&=& -2\log (2x -3) < 0
\end{eqnarray}を得ます。
積の微分 - 数式で独楽する
 対数関数の微分 - 数式で独楽する
したがって、 $g(x)$ は $x \geqq 2$ で単調減少です。

また、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} g'(x) = -\infty
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty
\end{equation}となります。

さらに、
\begin{equation}
g(2) = 4 > 0
\end{equation}です。

よって、 $g(\alpha) = 0$ を満たす $\alpha \geqq 2$ がただ1つ存在します。(証明終わり)

小問(3)の解答例

\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{2x -3}{x} \frac{\log (2x -3)}{2x -3} \\
&=& \left( 2 -\frac{3}{x} \right) \frac{\log (2x -3)}{2x -3}
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} f(x) = 2 \cdot 0 = 0
\end{equation}となります。

したがって、増減は次の通りとなります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 2 & \cdots & \alpha & \cdots & \infty \\ \hline
f'(x) && + & 0 & - \\ \hline
f(x) & 0 & \nearrow & f(\alpha) & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}
グラフの概形は次の図のようになります。

小問(4)の解答例

式(*)を変形すると
\begin{equation}
\frac{\log (2m -3)}{m} = \frac{\log (2n -3)}{n}
\end{equation}となります。つまり、
\begin{equation}
f(m) = f(n)
\end{equation}となる $(m,n)$ を求めればよいことになります。

\begin{eqnarray}
f(2) &=& 0 \\
f(3) &=& \frac{\log 3}{3} \\
f(4) &=& \frac{\log 5}{4} \\
f(5) &=& \frac{\log 7}{5} \\
f(6) &=& \frac{\log 9}{6} = \frac{2\log 3}{6} = \frac{\log 3}{3}
\end{eqnarray}
$x > 2$ では $f(x) > 0$ なので、 $m = 2$ は該当しません。
$f(3) = f(6)$ なので、 $(m,n) = (3,6)$ は該当します。
$n \geqq 7$ の場合、 $y = f(x)$ のグラフの形状から
\begin{equation}
f(2) < f(n) < f(3)
\end{equation}となり、 $f(m) = f(n)$ なる正の整数 $m$ は存在しないことが分かります。
$(m,n) = (4,5)$ については、
\begin{eqnarray}
(2m -3)^n &=& 5^5 = 3125 \\
(2n -3)^m &=& 7^4 = 2401
\end{eqnarray}なので、式(*)を満たしません。