テイラー展開 - 数式で独楽する

テイラー(Taylor)の定理
ある区間において $f(x)$ が $n$ 回微分可能であるとする。
この区間において $a$ を定数、 $x$ を任意の数とするとき、
\begin{equation}
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(x - a)^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n \qquad (cはaとxの間の数)
\end{equation}を満たす $c$ が存在する。

テイラーの定理 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n = 0
\end{equation}となる場合を考えてみましょう。

ただし、関数 $f(x)$ が何回でも(無限回)微分可能であることが前提です。
この場合、 $n$ を大きくしていくと、 $\displaystyle \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n$ は0に近付いていきます。
つまり、項をいくらでも増やしていくことで、
\begin{equation}
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots
\end{equation}と級数で展開することができるようになります。
これを「テイラー級数」といい、
テイラー級数に展開することを「テイラー展開」といいます

和の記号を用いて書くと、 $f(x)$ は
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
\end{equation}となります。