マクローリンの定理

マクローリン(Maclaurin)の定理
0を含むある区間においてf(x)がn回微分可能であるとする。
この区間においてxを任意の数とするとき、
\begin{equation}
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(0)}{(n - 1)!}x^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n \qquad (cは0とxの間の数)
\end{equation}を満たすが存在する。

マクローリンの定理は、テイラーの定理の特殊形です。

テイラー(Taylor)の定理
ある区間においてf(x)がn回微分可能であるとする。
この区間においてaを定数、xを任意の数とするとき、
\begin{equation}
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(x - a)^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n \qquad (cはaとxの間の数)
\end{equation}を満たすが存在する。

テイラーの定理 - 数式で独楽する
テイラーの定理でa=0とすると、マクローリンの定理を得ることができます。