級数の和 - 数式で独楽する

次の級数の和を求めよ。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}
\end{equation}

級数の和というのは、無限に続く数列の和を求めることです。
無限に続く和を求めるのは難しいので、和を求めるに当たり、次のような処理をします。
途中までの和を求め、その極限を求めて級数の「和」としています。
途中までの和を「部分和」といいます。

数式で表すと、第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると、級数の和Sは、
\begin{equation}
S = \lim_{n \to \infty}S_n
\end{equation}と表します。

さて、本題ですが、その部分和を求めるのも工夫が必要です。
和の記号の中が、
\begin{equation}
a_n - a_{n+1}
\end{equation}と表すことができれば、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) &=& (a_1 -a_2) + (a_2 -a_3) + \cdots + (a_n - a_{n+1}) \\
&=& a_1 -a_{n+1}
\end{eqnarray}
となり、ハッピーです。

では、 $\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}$ を差の形で表すことができるかどうかを考えていきます。
\begin{equation}
n = (n+1) -1
\end{equation}なので、両辺を $(n+1)!$ で割ると、和の記号の中は
\begin{equation}
\frac{n}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} -\frac{1}{(n+1)!}
\end{equation}となります。
右辺の第1項は $n+1$ が約分されて
\begin{equation}
\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}
\end{equation}となるので、
\begin{equation}
\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}
\end{equation}となります。

したがって、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} &=& \sum_{n=1}^\infty \left[ \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right] \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right] \\
&=& \lim_{n \to \infty} \left[ \left( \frac{1}{1!} -\frac{2}{2!} \right) +\left( \frac{2}{2!} -\frac{3}{3!} \right) + \cdots + \left( \frac{n}{n!} -\frac{n+1}{(n+1)!} \right) \right] \\
&=& \lim_{n \to \infty} \left[ 1 - \frac{1}{(n+1)!} \right] \\
&=& 1
\end{eqnarray}
となります。