本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の回転について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
回転は、
\begin{equation}
\nabla \times \boldsymbol{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \, \boldsymbol{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \, \boldsymbol{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \, \boldsymbol{k}
\end{equation}で表されます。
偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、なおかつベクトルの成分も変換していけば、導くことができます。
回転の$x,y$成分については、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \\
&& \frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial A_z}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}
= \sin \theta \, \frac{\partial A_z}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta} \\
&& \frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial A_r}{\partial z} \, \sin \theta + \frac{\partial A_\theta}{\partial z} \, \cos \theta \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \\
&& \frac{\partial A_x}{\partial z} = \frac{\partial A_r}{\partial z} \, \cos \theta - \frac{\partial A_\theta}{\partial z} \, \sin \theta \\
&& \frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial A_z}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial A_z}{\partial \theta} = \cos \theta \, \frac{\partial A_z}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}
\end{eqnarray}となります。
なお、$z$成分については
2次元極座標系の回転 - 数式で独楽する
を参照ください。
これらより煩雑な計算を行うと、3次元円柱座標系の回転
\begin{eqnarray}
\nabla \times \boldsymbol{A} &=& \left( \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial z} \right) \, \boldsymbol{e}_r \\
&& + \left( \frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right) \, \boldsymbol{e}_\theta + \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}を得ます。
