\begin{eqnarray} \boldsymbol{r} &=& (x,y,z) \\ r &=& \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{eqnarray}のとき \begin{equation} \nabla \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \right) = 0 \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{r} = (x,y,z) \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3 \end{equation}

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \tag{2} \end{equation}

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r} \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = k \, \theta \end{equation}の長さは

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = k \, \theta \end{equation}とに挟まれる部分の面積は、

(1) で定義された関数について導関数を求めよ。(2) 極方程式で定義される曲線の、の部分の長さを求めよ。

アルキメデスの螺旋 極座標表現で \begin{equation} r = k \, \theta \end{equation}と表される曲線をいいます。

虚数単位の平方根 \begin{equation} \sqrt{i} = \pm \frac{1 +i}{\sqrt{2}} \end{equation}

$i$を虚数単位とし、とおく。また$n$はすべての自然数にわたって動くとする。このとき、 (1) は何個の異なる値をとり得るか。 (2) の値を求めよ。 小問(2)ですが、工夫すれば誘導がなくても解けそうです。 本稿では、因数分解を使っていきます。 解答例 \beg…

を虚数単位とし、とおく。またはすべての自然数にわたって動くとする。このとき、(1) は何個の異なる値をとり得るか。(2) の値を求めよ。 小問(1)の解答例 \begin{eqnarray} a &=& e^{\pi i/3} \\ a^3 &=& -1 \\ a^6 &=& 1 \end{eqnarray}です。 指数関数の…

実数に対し、 \begin{equation} z = x + y \, i \end{equation}で表される数を「複素数」といいます。実数ではないという意味で「虚数」ともいいます。 : 虚数単位 : 実部。などと表します。 : 虚部。などと表します。 です。 複素数 - 数式で独楽するここで…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の発散について述べます。 直交座標系のベクトル成分の偏微分の和を球座標系のそれ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$のベクトルについて述べます。 球座標系を直交座標系に変換 直…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の勾配について述べます。 ここでは、 3次元球座標系の勾配 - 数式で独楽する とは…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の勾配について述べます。 スカラーの勾配 - 数式で独楽する 直…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 直交座標…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 球…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \end{eqnarray} で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$についてまとめます。 極座標 - 数式で独楽する 体積要素 \begin{equation} dV = r \, dr \, d\theta \, d…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の回転について述べます。 極座標 - 数式で独楽する回転は、 \begin{equation} \nabla \times \bol…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の発散について述べます。 ベクトルの発散 - 数式で独楽する 極座標 - 数式で独楽する2次元極座標…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$のベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 2次元極座標系の場合に$z$成分を付け加え…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z\tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の勾配について述べます。 ここでは、 3次元円柱座標系の勾配 - 数式で独楽する とは異なるアプロー…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 極座標 - 数式で独楽する スカラーの勾配 - 数式で独楽する 2次元極座標系…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の偏微分について述べます。 ここでは、 3次元円柱座標系の偏微分 - 数式で独楽する とは異なるア…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 円柱座標系による直交座標系の偏微分 極座標…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ z &=& z \tag{1} \end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の速度と加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 円柱座標系における位置ベクトル 円柱…