本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する
3次元球座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
において、直交座標系の単位ベクトルとの関係を次のように導きました。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} \tag{2}
\end{eqnarray}
これより、単位ベクトルを$r, \theta, \phi$で偏微分すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} &=& 0 \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} = \boldsymbol{e}_\theta \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \phi} &=& - \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{j} = \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial r} &=& 0 \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \theta} &=& - \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} - \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \cos \theta \, \boldsymbol{k} = - \boldsymbol{e}_r \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \phi} &=& - \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{j} = \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial r} &=& 0 \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \theta} &=& 0 \\
\frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \phi} &=& - \cos \phi \, \boldsymbol{i} - \sin \phi \, \boldsymbol{j} = - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_r - \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}
これより、$\theta, \phi$が変化すると単位ベクトルは自身に垂直な方向に変化していくことが分かります。
